Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по разные стороны от прямой OA. Найдите угол CAD, если угол AOD равен 110 градусам.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
         b
r = ----------- , где b - сторона правильного треугольника
        2√3

b = r * 2√3 
b = 3√3 * 2√3 = 6 * 3 = 18 (cм)

Периметр треугольника - сумма длин всех сторон
p = b + b + b = 3b
p = 3 * 18 = 54 (cм)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:
S= 1/2 * p * a, где p - периметр основания пирамиды, а - апофема

S = 1/2 * 54 * 9 = 243 (cм²)

ДАНО: SABCDEF - правильная шестиугольная пирамида ; SE = 10 см ; угол между боковой гранью SAF и основанием ABCDEF ( FAH ) равен 45°

НАЙТИ: S бок. пов.
______________________________

1) угол между боковой гранью SAF и основанием ABCDEF ( FAH ) — это линейный угол двугранного угла HFAS.

Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, лучи которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру

2) Рассмотрим ∆ SAF ( SA = SF ):

Опустили высоту SE
Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, и биссектрисой → AE = EF

отрезок SH ( высота пирамиды ) перпендикулярен ( АВС )
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости
Значит, SH перпендикулярен НЕ

SE перпендикулярен AF

Из этого следует, что НЕ перпендикулярен АF по теореме о трёх перпендикулярах

Соответственно, угол SEH = 45° - линейный угол двугранного угла HFAS

2) Рассмотрим ∆ SEH (угол SHE = 90°):
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90° →
угол ESH = 90° - 45° = 45°
Значит, ∆ SEH — прямоугольный и равнобедренный, SH = EH

По теореме Пифагора:

ES² = SH² + EH²
ES² = 2 × SH²
10² = 2 × SH²
SH² = 100/2 = 50

SH = EH = 5√2 см

3) В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Бо'льшие диагонали прав. шестиугольника пересекаются в одной точке и делятся пополам, к тому же бо'льшие диагонали являются биссектрисами шестиугольника. Все углы прав. шестиугольника равны 120°.

Рассмотрим ∆ FAH :
угол HAF = угол AFH = 60°
Соответственно, угол AHF = 180° - 60° - 60° = 60°
Значит, ∆ FAH — равносторонний
AF = AH = HF

Сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле:



где а - сторона равностороннего треугольник, h - высота →

AF = ( 2√3 × HE ) / 3 = 2√3 × 5√2 / 3 = 10√6 / 3 см

4) У правильной шестиугольной пирамиды всего шесть боковых граней и все они равны друг другу →

S бок. пов. = 6 × S saf = 6 × ( 1/2 ) × 10 × ( 10√6 / 3 ) =


ОТВЕТ: S бок. пов. = 100√6 см²