У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 4 см і 20 см, бічна дорівнює 10 см, знайдіть площу трапеції

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒

АО=12:3•2=8

CO=15:3•2=10

 Весь треугольник разделяется своими тремя медианами на шесть равновеликих  (равных по площади) треугольников.  Если провести медиану из В к АС, то 

площадь ∆ АОС =2•1/6 S ABC=1/3 S ABC

По т.Герона площадь треугольника 

S=√(р•(р-а)•(p-b)•(p-c), где а, b и c - стороны треугольника, р - его полупериметр. 

р ∆ АВС=(12+8+10):2=15

По т.Герона S ∆AOC=√15•(15-8)•(15-10)•(15-12) 

S ∆ AOC=√15•7•5•3=15√7⇒

S ∆ ABC=3•15√7=45√7 (ед. площади)

Теорема

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠ ∠ A1, ∠ B ≠ ∠ B1, ∠ C ≠ ∠ C1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.
Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой A1B1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.