У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 5 см і 12 см. Знайдіть катетитрикутника.​

Трикутник АВС, кутС=90, точка М - дотик кола на АВ, К - на ВС, Т - на АС

АМ=5, МВ=12. АВ=5+12=17

АМ=АТ = 5 як дотичні проведені з однієї точки, МВ=ВК=12, КС=СТ=х

ВС=12+х, АС=5+х

АВ в квадраті = ВС в квадраті+АС в квадраті

289 = (144+24 х+х в квадраті) + (25+10 х + х в квадраті)

х в квадраті + 17 х - 60=0

х = (-17 + - корінь (289 + 4*60)) / 2

х=3 = СТ=КС

ВС=12+3=15

АС=5+3=8

Раз речь идёт об отрезках на осях координат, то уравнение плоскости надо рассматривать в форме, называемой  "в отрезках".

Такое уравнение имеет вид:

Здесь a, b c - отрезки на осях Ох, Оу и Оz, отсекаемые плоскостью.

Примем равные а и в за "к".

Получим уравнение плоскости (x/k) + (y/k) + (z/c) = 1.

Приведём к общему знаменателю.

cx + cy + kz = kc и подставим координаты заданных точек.

c3 + c5 + k1 = kc           8c +k = kc,                   (1)

c7 + c7 + k8 = kc         14c + 8k = kc.                (2)

Вычтем из второго уравнения первое.

6c + 7k = 0      c = -7k/6. Подставим  это значение в (1).

(-56k/6) + k = -7k²/6      -50k/6 = -7k²/6      k = 50/7,   c  = -50/6.  

Получаем уравнение заданной плоскости:

(x/(50/7)) + (y/(50/7)) - (z/(50/6)) = 1   "в отрезках"

7x + 7y - 6z - 50 = 0   общее.

Сторона трапеции, перпендикулярная основаниям и играющая роль высоты равна двум радиусам т.е.12. Пусть малое основпние равно х. Тогда сумма оснований 24+х. Эта же величина равна сумме боковых сторон, т.к. трапеция описана. Поэтому большая боковая сторона равна 24+х-12=12+х.

Теперь из вершины тупого угла С опустим СМ высоту на большое основанип АД, СД большая боковая сторона, МД=24-х.. Из прямоугольного треугольника СДМ имеем уравнение

144+(24-х)^2=(12+х)^2

144+576-48х+х^2=144+24х+х^2

72х=576

х=8 длина верхнего основания.

Площадь равна

(24+8):2*12=32*6=192.