Вравностороннем треугольнике def из середины стороны de проведен перпендикуляр mn к стороне df. найдите углы треугольника fmn . решение: ответ: и заранее !

рассмотрим δfmn. fm - медиана, так как dm = me- по условию. поскольку δdef - равносторонний, то fm - биссектриса.

2). < d = < f = < e = 180: 3 = 60°. так как mf - биссетриса, то < nfm = 60° : 2 = 30°.

3). по св. прямоугольного треугольника nmf = 90° - 30° = 60°.

< mnf = 90° - по условию

ответ: 30°; 60°; 90°

Средняя линия делит трапецию на две трапеции с равной высотой. обозначим основания трапеции через а и b, а среднюю линию через с. проведем в каждой из новых трапеций среднюю линию - d и е. отношение площадей трапеций s1/s2 = (d*h)/(e*h) = d/е найдем средние линии трапеций. по условию: а: b = 7: 11 отсюда: а = b*7/11 средняя линия исходной трапеции: с = (а+b)/2 = (b*7/11 + b)/2 = b*9/11 средние линии полученных трапеций: d = (а+с) /2 = (b*7/11 + b*9/11)/2 = b*8/11 е = (с+b)/2 = (b*9/11 + b)/2 =b*10/11 отношение площадей: s1/s2 = d/е = (b*8/11)/(b*10/11) = (b*8*11)/(b*10*11) = 8/10 = 4/5 = 4: 5 s1 : s2 = 4: 5

поскольку расстояние между точками не имеет значения, а важны только углы, рассмотрим окружность.

первая точка о - центр окружности. разместим 3 точки на окружности так, чтобы радиусы образовали тупые углы. четвертую точку на окружности с соблюдением тех же условий разместить не удастся, так как полный угол составляет 360°, а если его разделить на 4 угла, то только 3 могут быть тупыми, а четвертый - обязательно острый (в крайнем случае - все прямые).

но и при таком расположении точек а, в и с на окружности каждый вписанный угол авс, вас и асв будет острым, так как вписанный равен половине центрального:

180° > ∠aob > 90°

∠acb = 1/2 ∠aob, ⇒   90° > ∠acb > 45°

т.е. даже 4 точки разместить так, чтобы любые три из них были вершинами тупоугольного треугольника нельзя.