Діагоналі прямокутника ABCD перетинаються в точці M так, що AM=8 см.Знайдіть діагональ BD

Хорошая задача.

Докажем сначала Теорему (так захотелось назвать этот простенький, но очень важный геометрический факт, который уже много раз мне решать запутанные геометрические задачи).

Теорема. Если высоту BD остроугольного треугольника ABC продолжить до пересечения с описанной окружностью в точке B_1, а точку пересечения высот обозначить буквой H, то HD=DB_1.

Иными словами, точка, симметричная ортоцентру H (то есть точке пересечения высот) относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности.

Кстати, верна еще одна теорема (которая сейчас нам не понадобится, поэтому ее я доказывать не буду; однако серьезный человек постарается доказать ее самостоятельно):

Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной окружности.

Переходим к доказательству теоремы. Как это часто бывает в задачах, связанных с окружностью, доказывать мы будем не равенство отрезков, а равенство углов. Итак, ∠BB_1C=∠BAC=α как вписанные и опирающиеся на одну дугу⇒∠ACH=90°-α⇒∠CHD=α⇒ΔHCB_1 равнобедренный, CH=CB_1, HD=DB_1 (так как высота в равнобедренном треугольнике является и медианой), ∠HCD=∠B_1CD.
Уф, вроде бы все, что только можно, мы написали. Одно из выписанных равенств и записано в теореме.

Дальше можно идти разными путями, даже никак не выберу, на каком остановиться. То ли воспользоваться подобием треугольников ABC и ADE (D - основание высоты CD) с коэффициентом подобия cos α (но ведь этим нельзя пользоваться без доказательства...), то ли пойти другим путем. Ладно, пошли другим. По условию B_1C_1 - диаметр ⇒∠C_1BB_1 прямой как вписанный и опирающийся на диаметр). По доказанной теореме 
∠C_1BA=∠B_1BA, а в сумме они дают 90°⇒каждый из них равен 45°.
Но ∠BAC=∠ABC_1 как внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AC и C_1B прямой AB ( объясняю для тех, кто, как принято сейчас говорить, "не въехал": AC⊥BD, так как BD - высота, C_1B⊥BB_1 по доказанному - помните, что угол C_1BB_1 прямой как опирающийся на диаметр? А две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны) ⇒ ∠BAC= 45°

ответ: 45°

PS Специалисты, знающие подобие ΔBAC и DEA с коэффициентом cos α, приходят к ответу еще быстрее: DE = R окружности, так как DE является средней линией ΔB_1HC_1 с основанием, равным диаметру окружности;
DE/BC=cos α; BC=2Rsin α (второе равенство является теоремой синусов)⇒ 2sinα·cos α=1; sin 2α=1; 2α=π/2; α=π/4

за внимание

Т. к. КР||ОМ, то: угол Р = углу О(при КР||ОМ и секущей ОР) Угол К = углу М(при КР||ОМ и секущей КМ) КР = ОМ(по условию) по 2(по стороне и прилежащем к ней двум углам.) признаку получаем, что треугольники равны 4.т. к. АВ и СД диаметры, они равны  пересекаются в точке О, при этом АО=ВО=СО=ДО т. к. это радиусы окружности  угол АОС = углу ВСД как вертикальные  отсюда следует что треугольник АОС = треугольнику ВСД по двум сторонам и углу между ними  отсюда угол САВ =углу АВД => АС параллельна ВД  углы ВАД и АВС накрестлежащие, отсюда они равны  угол АВС = 44 градуса.