діагональ АС ділить прямокутну трапецію АВСD на два трикутника — прямокутний і рівносторонній. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її менша основа дорівнює 12 см​

Сумма углов четырехугольника =360°

В четырехугольнике ОКЕС углы ЕКО=ЕСО=90° ( свойство радиуса, проведенного в точку касания)

Угол КЕС=360°-2•90°-120°=60°

По свойству отрезков касательных из одной точки КЕ=СЕ. 

∆ КЕС - равнобедренный, его углы при КС равны (180°-60°):2=60° - 

∆ КЕС равносторонний. 

∆ КОС - равнобедренный ( стороны - радиусы). 

Углы при КС=90°- 60°=30°

КЕ=СЕ, КО=СО, ЕО - общая. ∆ ЕКО=∆ ЕСО. 

ЕО - биссектриса угла  КЕС. 

Угол ОЕС =30°

∆ ОЕС - прямоугольный.  

Радиус ОС ( катет) противолежит углу 30°. ⇒

       ОЕ=2•OC=12 см (свойство угла 30°).

КА=СА, ЕА медиана и высота ∆ КЕС,⇒ ЕО ⊥ АС. 

В прямоугольном  Δ АОС угол ОСА=30°⇒ 

ОА=ОС•sin30°=6•0,5=3 см

∠АСR = ∠ACD + ∠RCD = ∠ABC + ∠BCR = ∠ARC ⇒ ΔACR - равнобедренный, AN⊥CR, CN = NR, АС = AR = 6

∠ВСК = ∠BCD + ∠KCD = ∠BAC + ACK = ∠BKC ⇒ ΔBCK - равнобедренный, BM⊥CK, CM = MK, BC = BK = 8

CM = MK , CN = NR ⇒ MN - средняя линия ΔKCR

В ΔАВС: АВ² = АС² + BC² = 6² + 8² = 100 ⇒ AB = 10

BR = AB - AR = 10 - 6 = 4 ,  KR = BK - BR = 8 - 4 = 4  ⇒  MN = KR/2 = 4/2 = 2

===========================================================

Пусть АС = a, BC = b, AB = c, тогда АС = AR = a, BC = BK = b

BR = AB - AR = c - a,  KR = BK - BR = b - (c - a) = a + b - c  ⇒ MN = (a + b - c)/2

Следует, что MN не просто отрезок, лежащий на средней линии ΔАВС, и что удивительно! но и равен радиусу вписанной окружности в ΔАВС

MN = r = (a + b - c)/2 = (6 + 8 - 10)/2 = 2

ответ: 2