В тетраэдра DABC точки K, P, N принадлежат рёбрам AD, DC, BC.AC и KP не параллельны.Постройте сечение тетраэдра плоскостью

См. рисунок в приложении.
Три точки Е, Р, М определяют плоскость единственным образом ( через три точки проходит плоскость и притом только одна)
Соединяем Е с точкой Р и продолжаем до пересечения с АВ, получаем точку К
Плоскость ЕРМ пересекает прямую АВ в точке К
Проводим прямую через точки К и М до пересечения с АС, получаем точку Т.
Четырехугольник ТEPM и есть искомое сечение.

CO = CD/2 = 12√3/2 = 6√3 см (диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам)

AO = AB/2 = 12/2 = 6 см

Рассмотрим Δ ACO - прямоугольный: CO = 6√3 см, AO = 6 см, AC - ?

По теореме Пифагора



Теорема: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы

==> ∠C = 30°

∠A = 90 - 30 = 60° (сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°)

∠ACO = ∠OCB = 30° (диагонали ромба делят углы пополам)

∠ACB = 30 * 2 = 60°

∠ACB = ∠ADB = 60° (в ромбе противоположные углы равны)

∠CAB = ∠DAB = 60° (диагонали ромба делят углы пополам)

∠CAD = 60 * 2 = 120°

∠CAD = ∠CBD = 120° (диагонали ромба делят углы пополам)

ответ: ∠ACB = ∠ADB = 60°, ∠CAD = ∠CBD = 120°

1. Если вписанный угол равен 60°, то центральный (опирающийся на ту же дугу, с вершиной в центре окружности) в 2 раза больше , то есть 120°. Поскольку центральный угол окружности 360°, то есть в 3 раза больше данного, то и длина окружности будет в 3 раза больше данной.⇒  12х3=36см

4. Радиус описанной ок-ти (R), радиус вписанной ок-ти  (r)  и половина стороны многоугольника (a/2) образуют прямоугольный треугольник, где R - гипотенуза Δ. По теореме Пифагора найдем                                а/2 = √(2√3)²-3² =√3 ⇒ а=2√3,  то есть сторона многоугольника а  равна R это условие выполняется толко в правильном шестиугольнике (центральный угол опирающийся на сторону многогранника равен 60° -из равностороннего Δ со сторонами R,R и а  и ⇒360°:60°=6 - сторон).

5. Из предыдущей задачи  для правильного шестиугольника R=а. Сторона правильного Δ  - b через R  определяется по соотношению b=R√3  то есть искомое b=а√3