Основание равнобедренного треугольника 18 см, а боковая сторона 15 см. найти радиус вписанной и радиус описанной окружности.

решение:

  полупериметр р = 18 + 2*15 / 2 = 24 см площадь по формуле герона s = корень(24 * (24-18) * (24-15) * (24-15)) = 108 кв.см площадь через радиус вписанной окружности s = p*r, откуда r = s/p = 108/24 = 4,5 см площадь через радиус описанной окружности s = a*b*c / 4r, откуда 4r = a*b*c / s = 18*15*15 / 108 = 37,5 r = 9,375 см

Трапеция равнобокая, значит высота делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности двух оснований (свойство), то есть равен "а". тогда cosa= a/2a =1/2. то есть < a=< d=60° (трапеция равнобокая). < b=< c=180°-60° =120° (так как углы трапеции, прилежащие к боковым сторонам, в сумме равны 180°). итак, углы трапеции равны < a=< d=60°, < b=< c=120°, а так как боковая сторона  (гипотенуза) всегда больше разности большего и меньшего оснований (катета)  по теореме о  соотношении сто­ро­н и углов тре­уголь­ни­ка, углы при большем основании острые, углы при меньшем основании тупые, что и требовалось доказать.

Не помню как правильно оформлять , так что объясню своими словами. т.к. bd=ac, ao=oc, bo=od, ab=cd, bc=ad, то abo и cod - равнобедренные треугольники, которые равны меж собой и boc и aod тоже равнобедренные треугольники, которые равны меж собой.  если угол abo=36 гр., то и угол bao=36 гр. => угол boa 108 гр. => cod=108 гр., dco=36 гр., cdo=36 гр.. поскольку угол, например, boa  108 гр, то угол aod = 72 гр., а т.к. треугольник равнобедренный,    то углы oad и oda = по 54 гр. и треугольник boc=aod. ну и ответ: угол ado=54 градуса. кажись, много лишнего, но вроде бы нужно рисовать рисунок, там это пригодится.