В прямоугольном треугольнике ABC(C=90°) медина, которая проведена к меньшему катету, образует с большим катетом угол 15°.Найдите площадь ABC, если AM=m.

1) △BAO, △BCO равнобедренные (AE, EC являются одновременно медианами и высотами) => BA=OA, BC=OC
OA=OB=OC (радиусы окружности)
OA=OB=OC=BA=BC => △BAO, △BCO равносторонние => ∠ABO=∠OBC=60 (в равностороннем треугольнике все углы равны 60)
∠ABC=∠ABO+∠OBC=120
∠ADC=180-∠ABC=60 (сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180)
∠BAD=∠DCB=90 (вписанные углы, опирающиеся на диаметр)

2) BH=9; AC=24

AB=BC
AH=AC/2 (в равнобедренном треугольнике высота является медианой)
AB=√(AH^2+BH^2) = √(24^2/4 +9^2) =15

Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис.
Биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
BO/OH =(AB+BC)/AC = 2AB/AC =30/24 =5/4
r= OH = BH*4/9 =4

R= AB*BC*AC/2*S = AB*BC/2*BH = 15^2/2*9 =12,5

Проверка:
r*R= AB*BC*AC/2(AB+BC+AC)
15*15*24/2(15+15+24) = 50 = 4*12,5

Сначала смотрим файл, потом это решение.

Решение (довольно подробное)
1) проведем отрезки( красные) , параллельно к АВ
2) из ΔЕСД по Фалесу имеем   КД=ЕД/3=2а/3
3) абсцисса т.К ( и т.N тоже !) будет = 3а-2а/3=7а/3
4)координаты т.N    будут   N(7a/3;b)
5) составляем ур-е прямой  AN :    A(0;0)    N(7a/3;b)   причем выделяем   х!
           x=7ay/3b
6)составляем ур-ие прямой МД     М(0;2b)    Д(3a;0)
           x=3a-3ay/2b
7)приравниваем ( находим координату     у   их  точки пересечения)
         
      все просто решается и получается    у=18b/23
значит, высота искомого треугольника к высоте трапеции = относшению ординат тоски пересечения к т. В

h/H=(18b/23)/(3b)=  6/23
т.е. высота искомого треуг. будет   6/23 высоты трапеции
    h=6H/23

Sтрап=(3a+a)/2*H=2aH=23  ⇒   aH=23/2

Sтреуг=(3a*6H/23)/2=9aH/23   подставляя aH=23/2  получаем

Sтреуг=9*(23/2)/23=4.5