5 АВСDА1В1С1D1 четырёхугольная призма, АВСD – параллелограмм, АDD1=500, АА1║ВВ1║СС1║DD1, АА1=ВВ1=СС1=DD1. Найдите угол между прямыми: ВС и DD1; ВВ1 и АD

Площа поверхні тіла обертання може бути знайдена за до формули:

S = 2π∫ab(x)dx,

де a - половина довжини основи рівнобедреного трикутника, яка дорівнює b/(2tan(β/2)).

Функція ab(x) описує довжину дуги, яку трикутник обертається, і може бути знайдена за до теореми Піфагора:

ab(x) = √(x^2 + b^2/4) + √(x^2 + b^2/4).

Тоді:

S = 2π∫ab(x)dx

= 2π∫0^a √(x^2 + b^2/4) + √(x^2 + b^2/4) dx

= 4π∫0^a √(x^2 + b^2/4) dx.

Здійснюємо підстановку x = (b/2)tan(t):

dx = (b/2)sec^2(t)dt,

x = 0 відповідає t = 0,

x = a відповідає t = atan(2a/b).

Тоді:

S = 4π∫0^atan(2a/b) √[b^2/4tan^2(t) + b^2/4] (b/2)sec^2(t) dt

= 2πb ∫0^atan(2a/b) [tan^2(t) + 1] sec(t) dt.

Зробимо ще одну підстановку: u = sec(t), du = sec(t)tan(t)dt.

Тоді:

S = 2πb ∫1^sec(atan(2a/b)) (u^2 - 1) du

= 2πb [u^3/3 - u]1^sec(atan(2a/b))

= 2πb [sec^3(atan(2a/b))/3 - sec(atan(2a/b))].

Враховуючи те, що sec(atan(x)) = √(x^2 + 1), отримуємо:

S = 2πb [(2a/b)^3/3 + 2a/b - 2√(a^2 + b^2/4)].

Отже, площа поверхні тіла обертання рівнобедреного трикутника дорівнює 2πb [(2a/b)^3/3 + 2a/b - 2√(a^2 + b^2/4)].

Для знаходження площі рівнобедреної трапеції треба знати її основи і висоту, яка є відрізком, проведеним перпендикулярно до основ. В нашому випадку бічна сторона не є висотою, а тому треба знайти її.

За теоремою Піфагора можна знайти довжину бічної сторони, яка є гіпотенузою прямокутного трикутника, утвореного бічною стороною, і половиною різниці основ:

a = √( (10-18/2)^2 + 5^2 )
a = √( (-4)^2 + 5^2 )
a = √( 16 + 25 )
a = √41

Тепер можна знайти площу трапеції за формулою:

S = ((a + b)/2) * h

де a і b - основи трапеції, h - висота трапеції

S = ((18 + 10)/2) * √41
S = (28/2) * √41
S = 14√41 кв. см

Отже, площа рівнобедреної трапеції дорівнює 14√41 кв. см.