В равнобедренном треугольнике АВС угол А=120 градусов, ВМ и CN медианы, О - их точка пересечения. Из точки О проведен отрезок ОК параллельный ВС, К принадлежит АВ. Найдите АО, если ВК=4 см.

АВС равнобедренный треугольник по условию.
Окружность касается АВ в точке М, также она касается ВС в точке К. На таком же расстоянии - треугольник равнобедренный.
И она касается АС в точке Р.
Из точек А, В и С проведены касательные к окружности.
По теореме о касательных - они  равны.
АМ=АР = 18.
СК=СР = 18.
МВ=ВК = 12.
Стороны треугольника равны АВ=ВС=30
АС=36.
Периметр треугольника равен 30+30+36 = 96.
Полупериметр = 96:2 = 48.
Площадь треугольника по формуле Герона:
√48*18*18*12 = 18*24 = 432
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
S=p*r,
отсюда r = S/p = 432/48 = 9
ответ: радиус вписанной окружности равен 9.

Все стороны правильного треугольника касаются сферы диаметром 4 дм, плоскость треугольника удалена на расстоянии 1 дм от центра сферы. Найдите сторону треугольника.  
Любое сечение сферы плоскостью - окружность. 
Плоскость треугольника АВС пересекает сферу  по линии,  являющейся окружностью с центром М (рис.1), 
Сделаем схематический рисунок (рис.2)
 Т.к. диаметр сферы=4 дм, ее радиус ОН равен 2 дм 
ОМ=1 дм, ОН=2 дм 
НМ=r 
По т.Пифагора
 r=√(2²-1²)=√3 
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности (а сечение сферы - вписанная в данный треугольник окружность) равен 1/3 высоты треугольника. (рис.3) 
Тогда  высота треугольника  СН=3*√3  
Сторона правильного треугольника равна частному от деления его высоты на синус 60º 
АВ=АС=СВ=[3√3):√3]:2
АВ=6 дм