5. Выберите правильные утверждения - В остроугольном треугольнике все углы меньше 90 градусов- В прямоугольном треугольнике один угол прямой, один тупой и один острый- Середина отрезка это точка отрезка, делящая его на два равных отрезка.- На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить два отрезок заданной длины. - Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

1.правда

2.неправда

3.правда

4.неправда

5.правда

Дан правильный тетраэдр МАВС. Все его ребра равны.
АВ=АС=ВС=МА=МВ=МС=√6/2.

Через точку А₁ на ребре АВ, АА₁=А₁В в плоскости треугольника АМВ  проведем прямую параллельную прямой АМ. Получим точку М₁, лежащую на ребре МВ, такую, что ММ₁=М₁В.  АМ || A₁M₁.  Через точку М₁ в грани МВС проведём прямую параллельную МС. Получим точку С₁ на ребре ВС, так что ВС₁=С₁С. МС || М₁С₁
Соединим точки А₁ и С₁, получим треугольник  А₁С₁М₁ - нужное нам сечение.
Причем А₁С₁ || AC, так как является средней линией треугольника АВС.
Каждая сторона треугольника А₁М₁С₁ является средней линией треугольника АМС и А₁М₁=А₁С₁=М₁С₁=√6/4

Чтобы найти расстояние между плоскостями АМС и А₁М₁С₁ опустим перпендикуляр из точки В на плоскость АМС. Так как дан тетраэр, то вершина В проектируется в центр окружности, описанной около правильного треугольника АМС
ОА=ОС=ОМ=R
Аналогично точка О₁ - центр окружности, описанной около правильного треугольника А₁М₁С₁
О₁А₁=О₁С₁=О₁М₁=R/2 в силу подобия треугольников  АМС и А₁М₁С₁ с коэффициентом подобия 2.

радиус окружности описанной около равностороннего треугольника можно найти по формуле

при a=√6/2 получаем R=√6/2 ·√3/3=√2/2
Тогда по теореме Пифагора ВО²=АВ²-АО²=(√6/2)²-(√2/2)²=6/4 - 2/4=4/4=1
Значит ВО₁=1/2 в силу подобия 
и ОО₁=ВО-ВО₁=1/2
ответ 1/2

пусть АН высота (медиана, биссектриса)

тогда АО=2/3АН (медианы пунктом пересечения делятся в соотношении 2/1 от вершины)

аналогично А1О1=2/3А1Н1 => AH=A1H1

СН=1/2АС (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)

пусть АС равно х, СН равно х/2

по теореме Пифогора из треугольника АСН 3х^2/2=AH^2 => x=AH* (корень из 6)/2

С1Н1=1/2А1С1 (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)

пусть А1С1 равно у, С1Н1 равно у/2

по теореме Пифогора из треугольника А1С1Н1 3у^2/2=A1H1^2 => у=A1H1* (корень из 6)/2

получаем х=у

по трем сторонам треугольники равны