В некотором треугольнике биссектриса является медианой. Докажем, что этот треугольник равнобедренный. Заполните пропуски в доказательстве. Пусть в треугольнике ABC биссектриса BM является медианой: AM = . На продолжении биссектрисы BM отложим отрезок , равный отрезку MB. Треугольники и CNM равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, CN = (∗) и ∠CNM = ∠. Однако ∠ = ∠CBM, следовательно, ∠CNM = ∠. Значит, треугольник BCN равнобедренный. Тогда из (∗) заключаем, что = AB. Утверждение доказано. ABC CBM AB AM ABM BC MC MN

Проще всего представить треугольник АВС равнобедренным с основанием в 10 см и высотой в 5 см.
Боковые стороны равны по 5√2 см.
Тогда его площадь соответствует заданию:
S = (1/2)*10*5 = 25 см².
Углы при основании равны 45 градусов, при вершине - 90 градусов.
По заданию АР = (4/5)*5√2 = 4√2 см.
                    PB = (1/5)*5√2 = √2 см.
                    BQ = AP = 4√2 см,
                    QC = PB = √2 см.
                    RC = (4/5)*10 = 8 см,
                    AR = 10 - 8 = 2 см.   
Теперь можно определить длины сторон искомого треугольника PQR.
PQ = √(√2)²+(4√2)²) = √(2+32) = √34  ≈  5,83095189 см.
PR = √(2²+(4√2)²-2*2*4√2*cos45°) = √20 = 2√5 ≈  4,472136 см.
RQ = √((√2)²+8²-2*√2*8*cos45°) = √50  ≈  7,0710678 см.
Теперь по формуле Герона находим площадь треугольника PQR.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). где р - полупериметр, р =  8,6870778 см.
Подставив данные, получаем S = 13 см².

1

Пусть М - точка пересечения а с α. N ∈ a.

Проведем через т. N прямую c || b.

В пл. α через т. М проведем прямую d1.

Через т. N проведем прямую d || d1. а ⊥ d1, d1 || d, поэтому а ⊥ d.

Т. о. а ⊥ β (Через т. А проходит единственная β, перпендикулярная к а).

следовательно,

Что и требовалось доказать.

2Да. Пусть K - точка пересечения b и α. Параллельно перенесем прямую а так, чтобы она на пл. α через т. K: K ∈ a', a' || a. Раз b ⊥ α, то b ⊥ a'. Отсюда заключаем, что b ⊥ a.

3Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости параллельны.

4В пространстве - утверждение неверно; в плоскости- утверждение справедливо.

5Так как перпендекуляр это 90 градусов , если будет меньше или больше 90 градусов , то плоскости паралельны не будут