7класс. сторона ав треугольника авс продолжена за точку в. на продолжении отмечена точка д так, что вс=вд. найти угол bcd если уголacb равен 30 ° , а угол bac=40°. !

эта неоднократно размещена здесь, но она    имеет решение только если этот четырехугольник вписан в окружность. 

в противном случае величину углов аdc и dcb вычислить  невозможно, они могут принимать различное значения, лишь бы их сумма была  равна разности между суммой углов четырехугольника и суммой углов авс и bad, т.е. 204°

 

четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180º. 

тогда  ∠adc=180°-∠abc=180°-96=84°

∠bcd=180°-∠bad=180°-60°=120°⇒

∠bcd-∠adc=120°-84°=36°.

Пусть m1, m2, m3  – образы точки m при последовательных отражениях. три из четырёх проделанных преобразований (симметрии относительно прямой ab, прямой ac и точки a) не меняют расстояния до точки a. поскольку точка m осталась на месте, то и симметрия относительно bc не изменила расстояния до точки a. значит одна из точек mi  лежит на прямой bc. последовательные отражения относительно ac и ab есть поворот на 2  ∠  bac, а отражение относительно точки a  – поворот на 180    . значит, композиция всех этих преобразований является поворотом точки m на 2  ∠  bac  +  180    . так как m осталось неподвижна, то 2  α    +  180      делится на 2  π  . значит,   ∠  bac  =  90    .