Чотирикутник, вершини якого - середини сторін даного чотирикутника, є прямокутником. Доведіть, що діагоналі данного чотирикутника перпендикулярні

АС-диагональ. Диагональ делит угол А на две равные части, то есть угол САВ=CAD =120:2=60градусов.  У ромба все стороны равны.,значит треугольник АВС равнобедренный, а это значит,что углы при основании равны, то есть САВ=60 градусов, ВСА=60 градусов. Так как сумма угол в треугольнике равно 180 градусам, то угол В=180-60-60 (В=180-САВ-ВСА) , В=60 градусов. Получается,что все углы треугольника равны. если все углы в треугольнике равны, то треугольник равносторонний,то есть АВ=ВС=АС=10. Итак, Р= 10*4=40 см.
Овет: 40 см

Доказательство. Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, РВСМ=РМDР - накрестлежащие, РВМС=РDМР - вертикальные) , поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР
(Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.)