Напишите уравнения катеноида, который получается при вращении цепной линии x=ach(u/a), y=0, z=u вокруг оси OZ

1) все грани тетраэдра будут правильными треугольниками 
AK⊥BC; ∠KAB = ∠KAC; = 30° (медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой) 
∠(DA, ABC) = ∠DAK; 
a) по теореме о трех косинусах cos(∠DAK) = cos(∠DAC)/cos(∠KAC) =1/√3 
cos(вектор_DA, вектор_AK) = cos(180 − ∠DAK) = −cos(∠DAK) = −1/√3 
скалярное произведение вектор_DA · вектор_AK = |DA|·|AK|·cos(вектор_DA, вектор_AK) = −a²/√3 
b) 
AT||BC; AT = BC = a; ∠KAT; = 30 + 60 = 90° 
по теореме о трех косинусах cos(∠DAT) = cos(∠KAT)·cos(∠DAK) = 1/√6 
cos(вектор_DA · вектор_BC) = cos(вектор_DA · вектор_AT) = cos(180 − ∠DAT) = −cos(∠DAT) = −1/√6 
скалярное произведение вектор_DA · вектор_BC = |DA|·|BC|·cos(вектор_DA · вектор_BC) = −a²/√6 
2) DA1C1C не является гранью 
если там DD1C1C 
a − ребро куба 
AT||BD1; AT = BD1; 
AT² = BD1² = 3a² 
AM² = a² + (½a)² + (½a)² = (3/2)·a² 
TM² = ((3/2)·a)² + (½a)² = (5/2)·a² 
по теореме косинусов TM² = AM² + AT² - 2·AM·AT·cos(∠TAM) 
cos(∠TAM) = (√2)/3 
cos ∠(вект_AM, вект_BD1) = cos(∠TAM) = (√2)/3 > 0 угол острый, т. к. косинус положительный

   Медиана треугольника   —   отрезок, соединяющий вершину  
треугольника с серединой противоположной стороны.    

        В любом треугольнике можно провести 3 медианы.   Все они  
пересекаются в одной точке, в центре (центре тяжести) треугольника.  

  
AK = KC ,  
BK   —   медиана    ABC ,  

О   —   центр    A 1B 1C 1 .    


        Биссектриса треугольника   —   отрезок биссектрисы угла треугольника,  
соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне.  

      Обратите внимание,   что биссектриса угла   —   это луч, делящий угол  
на два равных, а биссектриса треугольника   —   это отрезок, часть луча,  
ограниченная стороной треугольника.    

  
BK   —   биссектриса    ABC ,  

A 1О   —   биссектриса       C 1A 1B 1 .    

        В каждом треугольнике можно провести  
3 биссектрисы, которые пересекаются в одной точке,  
обычно обозначаемой латинской буквой   I .  

Точка пересечения биссектрис треугольника ( I )   —  
центр вписанной в треугольник окружности.      


          Высота треугольника   —   перпендикуляр, проведенный из вершины  
треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.