Даны точки A(3; 0), B(5; 4), C(1;1 Докажи, что треугольник ABC является прямоугольным.

Как все любят усложнять :((((

Этот угол α/2 очевидно равен углу, который диагональ образует с большим основанием. (*)

Поэтому по теореме синусов

4/sin(α/2) = 12/0,9; sin(α/2) = 0,3.

это все решение.

 

(*) обоснование этого простого факта - биссектриса острого угла между диагоналями перпендикулярна биссектрисе тупого угла между ними (биссектрисы смежных углов), а биссектриса тупого угла - это биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника, образованного большим основанием и двумя равными отрезками диагоналей. Такая биссектриса перпендикулярна основанию, поэтому биссектриса смежного угла параллельна основанию, и угол между ней и диагональю равен углу между диагональю и основанием, как соответственные углы между параллельными и секущей. 

Все это долго записывается, но соображается моментально :)

точку на ребре обозначим Р (SP / PC = 2/3)

SP = 10, PC = 15

PB1 || SB, PA1 || SA, B1A1 || BA

треугольники PA1C и SAC подобны => PC / SC = PA1 / SA = A1C / AC

3/5 = PA1 / 25

PA1 = 15 (или иначе: треугольник SAC равнобедренный => и PA1C тоже равнобедренный, т.к. они подобны => PA1 = PC = 15)

3/5 = A1C / 40 => A1C = 24 = B1C

треугольники ABC и A1B1C подобны => CA1 / CA = A1B1 / AB

24/40 = A1B1 / 40

A1B1 = 24 (или иначе: треугольник ABC равносторонний => и A1B1C тоже равносторонний, т.к. они подобны => A1B1 = CA1 = 24)

по формуле Герона Sсечения = корень(27*3*12*12) = 12*9 = 108

можно найти высоту сечения...

по т.Пифагора высота = корень(15*15 - 12*12) = корень((15-12)*(15+12)) = 

корень(3*27) = 9

Sсечения = 24*9/2 = 12*9 = 108