- паралельные отрезки одинаковой длинны, концы которых не лежат на одной прямой.Точки - середины отрезков соответственно. Доказать, что плосткости .

 Как известно, диагонали точкой пересечения делятся пополам, а противоаоложные стороны пар-мма равны. Следовательно, противоположные по отношению друг к другу треугольники равны(по 3-ему признаку равенства треугольников), и площади их тоже равны. 

Осталось доказать, что площади двух "смежных" треугольников равны. Рассмотрим их. Одна сторона у них общая, примем за основание сторону, лежащую на диагонали. Эти стороны у треугольников равны, т.к. точкой пересечения, повторюсь, диагонали делятся пополам. Прощадь треугольника у нас равна половине основания, умноженного на высоту, проведенную к основанию. Проведи к основаниям треугольников высоту - это будет один и тот же отрезок. 

Мы получили - основания у треугольников равны, высоты равны.   

Теорема доказана.

Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведён перпендикуляр OD к его плоскости. OD=8 см, MN=12 см. 

Вычислите: 

а) расстояние от точки D до прямой NP. 

б) площади треугольника MDN и его проекции на плоскость квадрата. 

в )расстояние между прямыми OD и MN

Решение начинаем с рисунка. 

Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и  точкой пересечения делятся пополам. 

а) Расстояние от т.D до прямой NP - наклонная DH, проведенная перпендикулярно NP.

По т.о 3-х перпендикулярах ОН⊥MP; DH⊥NP⇒

ОН=КN=MN:2=6 см 

Из отношения катетов ОН:OD=3:4 ⊿ DOH - египетский и его гипотенуза DH=10 см- это и есть искомое расстояние. (  можно проверить по т.Пифагора).

б) Расстояния от D до сторон основания равны, и расстояния  от D  до вершин квадрата равны, т.к. DO проецируется в центр основания, и О - центр вписанной ( и описанной) окружности ⇒ ОК=ОH=6 см

∆ MDN- равнобедренный, его высота DK=DH=10 см

S ∆ MDN=DK•KN=10•6=60 см²

Проекция ∆ MDN  на плоскость основания - это прямоугольный ∆ MON.  Сторона МN - общая, вершина D ∆ MDN проецируется в точку пересечения диагоналей. MN=12, высота ОК=6

S (⊿=OK•MN:2=36 см²

в) DO и MN- лежат в разных плоскостях и не пересекаются. Они - скрещивающиеся прямые; расстояние между ними определяется общим перпендикуляром ОК, а так как он равен половине стороны квадрата, то это расстояние равно 6 см.