З точки В, яка розміщена від площини на відстані 1, проведено дві похилі, які утворюють з площиною куги 45°, аміж собою — кут 60°. Знайти квадрат відстані між кінцями похилих.

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза с и радиус вписанной окружности r.

Примем один из катетов за х, второй равен √(с² - x²).

Точки касания окружности со сторонами отстоят:

- от вершины прямого угла на расстоянии r,

- на гипотенузе от вершины острого угла с катетом х на расстоянии

x - r.

- от второй вершины расстояние равно √(с² - x²) - r.

Длина гипотенузы равна:  c = (x - r) + (√(с² - x²) - r).

√(с² - x²) =  c - x + 2r. Возведём в квадрат:

с² - x² =  c² + x² + 4r² - 2cx -  4rx + 4rc.

Получили квадратное уравнение:

x² - (c + 2r)*x +2(r² + rc) = 0, одиз из корней  которого соотетствует длине принятого катета х, второй корень - это второй катет.

ответ: по корням уравнения x² - (c + 2r)*x +2(r² + rc) = 0 строятся катеты.

Сделаем проверку правильности формулы для известного "египетского" треугольника с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5.

Для него r = (a+b-c)/2 = (3+4-5)/2 = 1.

Подставим в полученную формулу r = 1, c = 5.

x² - (5 + 2*1)*x +2(1² + 1*5) = 0.

x² -7x +12 = 0,   D = 49 - 48 = 1,

x1 = (7 - 1)/2 = 3,

x2 = (7 + 1)/2 = 4.

ответ верный.