Все с полным решением! 1) Длина неизвестной наклонной. 2) Длина неизвестной протекции наклонной. 3) Длину отрезка AB. 4) Расстояние от точки О до середины отрезка АВ. 5) Расстояние от точки М до середины отрезка АВ.

MN - средняя линия трапеции. Средняя линия проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки касательных из одной точки равны, △BAC - равнобедренный. Параллельные линии отсекают от угла подобные треугольники. Средняя линия MN параллельна основаниям, основания параллельны BC, MN||BC => △MAN~△BAC, △MAN - равнобедренный. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Биссектриса в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой, ∠BDO=90, BD=BC/2=a/2, MO=MN/2.

Радиус перпендикулярен касательной, ∠OBM=90.

Накрест лежащие углы при параллельных равны, ∠MOB=∠OBD.

△MOB~△OBD (по двум углам)

MO/OB=OB/BD <=> (MN/2)/r=r/(a/2) <=> MN=4r^2/a

В трапецию вписана окружность, h=2r.

S=MN*h =4r^2/a *2r =8r^3/a