Точки А и В лежат по одну сторону от прямой на расстоянии 2 см и 10 см от нее. Найдите расстояние от точки М до прямой, если М лежит между А и В и АМ : МВ = 1 : 3.

Пусть диагонали прямоугольника  ABCD пересекаются в точке O. Выберем произвольную точку M на перпендикуляре. Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, треугольники AOM, BOM, COM, DOM прямоугольные (OM перпендикулярно плоскости (ABC), а значит, и диагоналям), причём один катет у них общий, а второй катет - половина диагонали прямоугольника, то есть они равны по двум катетам. Гипотенузы этих треугольников - расстояния от вершин прямоугольника до точки M, из равенства треугольников следует равенство этих расстояний. Тогда точка M равноудалена от всех вершин прямоугольника, а в силу произвольности её выбора, любая точка перпендикуляра также равноудалена (включая точку O, то, что она равноудалена, следует из равенства OA=OB=OC=OD).