4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной 9см и 16 см. Найдите катеты треугольника.​

1) отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону, равны 8*x и a*x, где а - неизвестное основание, x тоже неизвестен. Зато известно вот что:
a/2 = 8/(8*x); a/2 = 1/x;
8*x + a*x = 8; 1/x = 1 + a/8;
Отсюда a/2 = 1 + a/8; a = 8/3; высота h треугольника находится так 
h^2 = 8^2 - (a/2)^2; h = (4/3)*√35; Площадь S  = (1/2)*(8/3)*(4/3)*√35 = (16/9)*√35;
2) В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии (а второй отрезок, на который высота из вершины меньшего основания делит большее, то есть - проекция боковой стороны на основание - равен полуразности оснований, докажите самостоятельно, это элементарно).
Поэтому высота, средняя линяя и диагональ образуют прямоугольный треугольник, произведение катетов которого рано 48, а сумма квадратов равна 10^2;
m^2 + h^2 = 10^2;
m*h = 48;
Отсюда
(m + h)^2 = 196;
(m - h)^2 = 4;
Если m > h, то m + h = 14; m - h = 2; h = 6; m = 8; 
Если m > h, то m + h = 14; h - m = 2; h = 8; m = 6;
то есть - два решения h = 6 или 8;
ответ можно было бы увидеть сразу, поскольку "египетский" треугольник 6,8,10 удовлетворяет условию.