1. Даны точки А (3; -2); В (-2; 2) и С (6; 8 Найдите координаты и длины векторов а⃗ = АС⃗⃗⃗⃗⃗ + АВ⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗ = СВ⃗⃗⃗⃗ − СА⃗⃗⃗⃗⃗ . 2. Найдите площадь треугольника, заданного своими координатами А (5; 1); В (1 ; -1) и С (5; -4). 3. Докажите, что линия, заданная формулой х ^2 -2х+у^2 -10у-35=0, является уравнением окружности. Является ли отрезок АВ диаметром этой окружности, если А (4; 5) и В (1; 2)? 4. Докажите, что четырехугольник, заданный координатами своих вершин, является прямоугольником, найдите его площадь и запишите уравнение описанной окружности если А (2; 2); В (-3; 1); С (-2; -4) и D (3; -3).

1. Раз BAD = 90 градусов и ABD = 45 градусов, то оставшийся угол ADB= 180-90-45=45 градусов.
2. Судя по этим углам, можно заключить, что AD = AB, а раз AB = AC = BC, то AD = AB = BC = AC.
3. Раз в треугольнике AD = AC, то и угол ADC = угол ACD.
4. В треугольнике ABC угол A = угол B = угол C = 180/3 = 60 градусов.
5. В треугольнике ACD, как и всегда, сумма углов = 180 градусов. Но раз там угол D = угол C, то возьмём один из них за х. Получается, что х+х+90(угол DAB)+60(угол BAC) = 180.
180-90-60=2х
30=2х
х=15 градусов = угол ACD = ADC.
6. Угол D, как было указано в пункте №1, равен 45 градусам. Этот угол состоит из угла ADC (15 градусов) и угла CDB (который нам и надо найти). Получается, что:
45=15+CDB
CDB = 30 градусов