.. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делится вписанной в него окружностью радиуса 4, 5 см в отношении 1:3, считая от вершины. Найдите основание треугольника.

Чтобы решить данную задачу, нужно использовать свойства равнобедренного треугольника и окружности, вписанной в него.

Обозначим основание треугольника как "b" и высоту как "h". Также обозначим точку, где высота пересекает основание, как "D".

Из условия задачи нам дано, что отрезок "AD" делит вписанную окружность на два отрезка в отношении 1:3. Значит, если "r" - радиус окружности, то отрезок "AD" равен "r/3". Так как радиус окружности равен 4,5 см, то "r = 4.5 см".

Также из свойств равнобедренного треугольника известно, что высота, проведенная к основанию, делит основание пополам. Значит, отрезок "BD" равен отрезку "DC", а отрезок "AD" равен отрезку "AB" + отрезку "BC".

Теперь мы можем записать ряд равенств:
AD = AB + BC
r/3 = b/2 + b/2
r/3 = b

Подставляем известные значения:
4.5/3 = b

Получаем:
1.5 = b

Таким образом, основание треугольника равно 1.5 см.