Две окружности радиусами 3 см и 12 см касаются внешним образом. cd - общая касательная к этим окружностям, c и d - точки касания. найти длину отрезка cd.

пусть о1 - центр окружности радиуса r1 = 3, точка с лежит на ней, аналогично о2 -  центр окружности радиуса r2 = 12, точка d лежит на ней. о1с перпендикулярно cd, и о2d  перпендикулярно cd.

в прямоугольной трапеции cdo2o1 проводим ск ii o1o2, точка к лежит на о2d.

треугольник cdk - прямоугольный с гипотенузой ск = о1о2 =   r1 + r2, и катетом ко2 = r2 - r1;

cd^2 = (r1 + r2)^2 - (r2 - r1)^2 = 4*r1*r2.

подставляем значения, получаем cd = 12. 

Угол между хордой и касательной равен половине градусной меры дуги, стягиваемой этой хордой (свойство), то есть половине градусной меры  дуги АВ.

На дугу АВ опирается центральный угол АОБ, значит дуга АВ = 120°. Значит угол между касательной и хордой в точке касания равен 120°:2 = 60°

ответ: искомый угол равен 60°.

Или так:

В равнобедренном треугольнике АОВ (стороны ОА и ОВ равны - радиусы) углы при основании равны по (180-120):2=30° (сумма углов треугольника = 180°). Касательная в точке касания перпендикулярна радиусу, значит искомый угол равен 90° - 30° = 60°.

ответ: 60°

1 этап:

Точка, прямая, окружность.

2 этап:

1. На плоскости нужно отметить произвольную точку

2. Через эту точку провести прямую произвольной длины

3. Взять циркуль и провести окружность с центром в точке, которую мы построили в 1 пункте

4. Отметить точки пересечения нашей окружности из 3 пункта и прямой (точки А и B) - это будут крайние точки нашего основания.

5. Не изменяя раствора циркуля провести из точек А и B окружности, точка пересечения этих окружностей будет 3 вершиной равнобедренного треугольника.

6. Соединить 3 полученные точки.

3 этап:

Пусть AB = a.

Отметим на нашем основании точку М = b ⋂ a. По рисунку эта точка совпадает с точкой пересечения окружностей, которые мы провели из крайних точек основания: точек А и B.

АМ = BM (как радиусы равных окружностей), а значит т.М совпадает с точкой пересечения медианы и основания. Отсюда, так как медиана совпадает с биссектрисой треугольник является равнобедренным.

4 этап:

Да, всегда будет иметь решения.