2. Равнобедренный треугольник ABC вписан в окружность. Основание треугольника AB равно радиусу окружности. Найдите величины углов АОС, АОВ и ВОС. Если угол ОАВ = 55⁰только с дано, найти и решением.​

a) Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

ACB=∪AB/2

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.

KAB=∪AB/2

Следовательно ACB=KAB

б) CAB=KBA (накрест лежащие при AC||KB)

△ACB~△BAK (по двум углам)

△ACB - равнобедренный => △BAK - равнобедренный

(AC/BA=BC/KA, AC=BC => BA=KA)

в) Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия (то есть отношению соответствующих сторон).

S(ACB)/S(BAK)= (AC/AB)^2

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов - если известны углы, то известно и отношение сторон. В равнобедренном треугольнике достаточно знать один угол (и его расположение), чтобы найти остальные углы. Таким образом в равнобедренном треугольнике ACB достаточно знать угол C, чтобы найти отношение сторон AB и AC.

(Высота CH является медианой и биссектрисой.

CHA=90, AH=AB/2, ACH=C/2

AH/AC =sin ACH => AB/AC =2sin C/2)