Фастом 1) Точка А віддалена від площини а на 6 см, знайдіть довжину проєкції похилої до площини з цієї точки, якщо довжина похилої 10 2) Відрізок АВ перетинає площину а, знайдіть відстань від середини відрізка до площини, якщо точки А та В віддалені від площини на 9 та 13 відповідно. 3) Через точку перетину медіан трикутника АВС паралельно прямій АС проведено площину, яка перетинає сторони АВ і ВС в точках D і E відповідно. Знайдіть довжину відрізка DE, якщо АВ = 18 см. 4) Знайдіть довжину вектора ВА, якщо А (-1; 3; 3), В (2; 3; 5) 5) Знайдіть скалярний добуток векторів а та b, якщо |a| = 3 |b| = 4, а кут між ними 30. 6) Знайдіть скалярний добуток a та b, якщо: a = d+c, b = 2c-3d. |d| = 3 |с| = 4, кут між с та d 45 градусів

Свойство: Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. EF - средняя линия. 
Значит АEFВ - трапеция, в которой CВ=2ЕF.
Свойство:
Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.
Итак, ВС+EF=CE+FB. Но EF=(1/2)*ВС, а СЕ+FB=(1/2)*(АВ+АС). 
Значит (3/2)*ВС=(1/2)*(АВ+АС) или 3ВС=АВ+АС.
АВ+АС+ВС=24 (дано). Тогда 4ВС=24, а ВС=6.
Sabc=(1/2)*ВC*h=(1/2)*6*8=24.(так как h=2*d=8, поскольку EF - средняя линия и делит h пополам. Половина же высоты - это в нашем случае  диаметр вписанной окружности).
По Герону: Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c). Или S²=12(12-a)(12-b)(12-6).
То есть 24²=12*6*(12-a)(12-b) или 8=(12-a)(12-b). 
Но a+b+c=24, а с=6, значит a+b=18. тогда b=18-a.
Подставляем это значение в выражение 2=(12-a)(12-b) и получаем:
8=(12-a)(а-6). Имеем квадратное уравнение:
а²-18а+80=0, откуда а1=10, а2=8 и b1=8, b2=10.