Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а радиус вписанной в него окружности 4. найдите площадь треугольника

Радиус равен 15, касательная и прямая ab пересекаются в некоторрй точке t, иначе расстояния от любой точки ab до касательной равны (и равны радиусу, т. к. радиус, проведенный в точку c ⊥ касательной) и равны 15, что противоречит условию. так как расстояние от a до касательной меньше, чем от центра окружности o до касательной, то t лежит ближе к a, чем к b. проведем перпендикуляры из a и b к касательнрй ah и bk соответственно. треугольники tah, toc, tbk подобны, т.к. имеют общий угол btk, а также по углу в 90° (по 2 равным углам). пусть ta = x, bk = y тогда из отношений подобия: ao и oc - радиусы, равны 15 ab - диаметр, равен 30 ah по условию равно 6 подставляем и находим x из первого равенства: находим y: ответ: 24

в треугольнике abc ac= bc, k - точка пересечения биссектрис треугольника, а o - точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. отрезок ok пересекает сторону ab в точке e и точкой пересечения делится пополам. найдите углы треугольника abc.

точка к равноудалена от сторон треугольника, поэтому является центром вписанной окружности. 

точка о - равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. точка к лежит на высоте и медиане   к ав ( на срединном перпендикуляре), точка о лежит на срединном перпендикуляре к ав, поэтому с, к, е и о принадлежат одной прямой со. 

т.к. отрезок ко пересекает ав, точка о расположена вне треугольника. 

высота и медиана се  ⊥  ав и делит его пополам. 

соединим точки к и о с вершинами а и в. 

в получившемся четырехугольнике акво отрезки ае=ве, ке=ое. 

треугольники, на которые ко и ав делят этот четырехугольник, прямоугольные и равны по двум катетам. 

следовательно, ак=вк=во=ао, и акво - ромб.  ав - его диагональ и делит его углы пополам. 

пусть ∠еао=α, тогда ∠кае=α, а, так как  ак - биссектриса угла сав, то  ∠сак=∠еак,    и ∠сае=2α.

∆соа - равнобедренный ( по условию оа=ос=ов).

∠оса=∠оас=3α. 

сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

в ∆ сеа ∠сае+∠асе=5α. 

5α=90°, откуда α=90°: 5=18°

∠сав=∠сва=2•18°=36°

∠асв=180°-2•36°=108°.