Треугольник асд проведена высота из точки с сф равная 8см угол сфд равен 90градусов из точки ф проведена высота фб на сторону ас угол сбф равен 90градусов отрезки аф и фд равны угол дсф равен 30градусов найти сторону фб.

Вот я напишу решение, не понравится, можете смело ставить нарушение. точки пересечения биссектрис боковых граней равноудалены от центра основания. следовательно, все точки трех окружностей, вписанных в боковые грани, равноудалены от центра основания. включая, разумеется, и середины ребер основания. то есть - в дополнение к сказанному - к этому множеству равноудаленных точек принадлежат и точки окружности, вписанной в основание.  это означает, что существует такая сфера, которая касается всех ребер пирамиды, и центр её лежит в центре основания. вписанные окружности являются сечениями этой сферы плоскостями граней. причем сечение основанием является центральным. на самом деле уже решена, и дальше я так коротко. пусть пирамида abcs, o - центр основания, ac касается сферы в точке b1, as - в точке a2.  тогда из сказанного выше следует, что треугольники aa2o и ab1o равны (по трем сторонам). то есть  ∠sao = 30°;   пусть ac = a; as = d; тогда a*2√3/3 = d√3/2; d = a*2/3; ab1 = a/2; => sb1 = a*√7/6;   отсюда легко выразить через a площадь боковой грани (a^2*√7/12) и полупериметр p = a*7/6; откуда a*√7/14 = 1/√7; a = 2; может я в арифметике ошибся где-то, проверяйте.

a) пусть середины ребер ac и bc - соответственно d и e .

de - очевидно 3 , поэтому надо доказать что апофемы пирамиды md и me тоже равны трем.

рассмотрим треугольник ame . он по условию прямоугольный с прямым углом m ( ma перпендикулярно mbc )

высота mo проецируется в центр основания abc ( пирамида правильная   )

ae = 6√3/2 = 3√3

ao=2√3

eo = √3

пусть высота mo - h

тогда по теореме пифагора

h^2+(√3)^2+h^2+(2√3)^2=(3√3)^2

откуда h=√6

me^2 = h^2+3

me=3

доказано.

б) пусть с - начало координат

ось x - ca

ось y   - перпендикулярно x в сторону b

ось z - перпендикулярно abc в сторону m

координаты точек

d(3; 0; 0)

e(3/2; 3√3/2; 0)

m(3; √3; √6)

уравнение плоскости dem

ax+by+cz+d=0 подставляем координаты точек

3a+d=0

3a/2+3√3b/2+d=0

3a+√3b+√6c+d=0

пусть d= -6 тогда a=2 b=2/√3 c= - 2/√6

2x+ 2y/√3 - 2z/√6 - 6 =0

k=√ (4+4/3+4/6) = √6

нормализованное уравнение

2x/√6+ 2y/(√3√6) - 2z/(√6√6) - 6/√6 =0

расстояние от с (начала координат)   до плоскости dem равно

6/√6 = √6