П’ятикутник, усі сторони якого рівні, вписано в коло. кут між діагоналями, що виходять з однієї вершини, дорівнює .

  из одного и того же куска железа в одной и той же мастерской были сделаны два плуга. один из них попал в руки земледельца и немедленно пошел в работу. другой долго и совершенно бесполезно провалялся в лавке купца.  случилось так, что через несколько лет оба земляка опять встретились, плуг земледельца блестел, как серебро. он был даже еще лучше, чем в то время, когда он только что вышел из мастерской. а плуг, который пролежал без всякого дела в лавке, потемнел и покрылся ржавчиной.  — скажи, , почему ты так блестишь? — спросил заржавевший плуг у своего старого знакомого.  тот отвечал:   — от труда, дружок. а ты заржавел потому, что все это время пролежал на боку, ничего не делал.   

Выразим параметры вписанного конуса через его переменную высоту h и заданный радиус шара r (константа). vконуса = (1/3)soh. радиус ro основания конуса равен: ro² = r² - (h - r)². so =  πro² =  π*(r² - (h -  r)²). получаем формулу объёма: v = (1/3)*π*(r² - (h -  r)²)*h. для нахождения экстремума находим производную объёма по н и приравниваем нулю. v'(h) = (1/3)πh*(4r - 3h) = 0. нулю может быть равно только выражение в скобках. 4r - 3h = 0. отсюда получаем ответ: высота конуса при максимальном объёме равна h = (4/3)r.