Прямая ef, не лежащая в плоскости прямоугольника abcd, параллельна стороне bc. докажите, что прямые ef и ad параллельны.

Если достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника так, чтобы гипотенуза была его диагональю (то есть присоединим к треугольнику второй такой же точно), то площадь такого прямоугольника будет ровно в 2 раза больше площади треугольника, то есть 2 * 512 * корень(3) = 1024*корень(3). а также площадь прямоугольника равна произведению катетов. обозначим меньший катет буквой х, тогда больший будет х*tg(x) = x*корень(3). итого, имеем площадь прямоугольника х*х*корень(3) = 1024*корень(3). корень(3) сокращаем, остаётся х*х = 1024. отсюда х = корень(1024) =    32. такой получился ответ - меньший катет = 32.

Касательные an и am равны и образуют с радиусами on и om соответственно прямые углы. т.е. an перпендикулярна on, и am перпендикулярна om. касательными и радиусами образуется четырехугольник oman. сумма углов = 360 градусов. ∠man  =  360 - ∠mon -  ∠ano -  ∠amo = 360-120-90-90=60 градусов. рассмотрим треугольники  δano и  δamo - они равны по двум сторонам(an=am, mo=no) и углу между ними ( ∠ano=∠amo=90) эти треугольники прямоугольные.диагональ делит oman пополам.  ∠mao=∠nao=30.катеты лежащие напротив угла в 30 градусов равны половине гипотенузы: om=on=oa: 2=12: 2=6смиспользуем т.пифагора, чтобы найти am и an. ответ: am=an= см