20 ів дано ромб abcd. am=cn, bp=dk. доведіть, що mpnk - ромб

ответ:

ам = кс по условию,

∠амр = ∠скр по условию,

∠мар = ∠кср как углы при основании равнобедренного треугольника, ⇒

δмар = δкср по стороне и двум прилежащим к ней углам, ⇒

мр = кр

из равенства треугольников так же следует, что ар = рс, значит, вр - медиана и высота δавс, т.е. вр⊥ас.

вм = ва - ма

вк = вс - кс, а т.к. ва = вс и ма = кс

вм = вк, δвкм равнобедренный.

тогда ∠вмк = ∠вкм = (180° - ∠в)/2,

но и ∠вас = ∠вса = (180° - ∠в)/2, значит,

∠вмк = ∠вас, а это соответственные углы при пересечении прямых ас и мк секущей ав, значит ас║мк.

вр⊥ас, ⇒ вр⊥мк

Треугольник авс, ав=вс, вд-высота=медиане=биссектрисе=20, ас/ав=4/3=4х/3х, ас=4х, ав=3х, ад=сд=1/2ас=4х/2=2х, треугольник авд прямоугольный, ав в квадрате-ад в квадрате=вд в квадрате, 9*х в квадрате-4*х в квадрате=400, х в квадрате=80, х=4*корень5,  ад=2*4*корень5=8*корень5, ас=2*ад=2*8*корень5=16*корень5, ав=3*4*корень5=12*корень5 площадь авс=1/2*ас*вд=1/2*16*корень5*20=160*корень5, полупериметравс=(12*корень5+12*корень5+16*корень5)/2=20*корень5,  радиус вписанной=площадь/полупериметр=160*корень5/20*корень5=8