Найти диагонали прямого параллепипеда если диагонали его граней соответсвенно равны 11, 19, 20

пусть а, в и с - рёбра параллелепипеда. тогда

а² + в² = 20²

в² + с² = 11²

а² + с² = 19²

сложим все три выражения

2а² + 2в² + 2с² = 20² + 11² + 19²

а² + в² + с² = 0,5(20² + 11² + 19²)

диагонали параллелепипеда равны

d = √(а² + в² + с²) = √(0,5(20² + 11² + 19²)) =

  = √(0,5(400 + 121 + 361)) = √(0,5·882) = √441 = 21(см)

по т.синусов: ce: sind = cd: sine = de: sinc

de = 2.5*cd

ce*sine = cd*sind cd*sinc = de*sine = 2.5*cd*sine

sinc = 2.5*sine = sin(60) = корень(3)/2

sine =  корень(3)/2 : 5/2 =  корень(3)/2 * 2/5 =  корень(3)/5

(cose)^2 = 1 - (sine)^2 = 1 - 3/25 = (25-3)/25 = 22/25

cose = корень(22)/5, используя формулы и синус суммы углов, найдем

sind = sin(180 - (уголc+уголe)) =  sin(уголc+уголe) = sinccose+coscsine =

sin(60)*корень(22)/5 + cos(60)*корень(3)/5 =  корень(66)/10 +  корень(3)/10 =

корень(3)*(корень(22)+1)/10

ce: cd = sind/sine =  корень(3)*(корень(22)+1)/10 :   корень(3)/5 =  корень(3)*(корень(22)+1)/10 * 5/корень(3) =  (корень(22)+1)/2

а

                    д

              о

                      в

с  

ов: ао= 5,1: 6,8= 3: 4 (сокращаем на 1.7)

од: со=6,3: 8.4=3: 4 (сокращаем на 2,1).

треугольник аос подобен треугольнику вод (отношение сторон равно, и угол аос=вод вертикальные). значит вд: ас=1: 3