Решить . в трапеции abcd меньшее основание bc равно a, прилежащие к этому основанию углы равны 105°, диагонали взаимно перпендикулярны. найдите площадь трапеции.

способ 1

прилежащие к меньшему основанию углы равны 105°, значит, трапеция - равнобедренная, и вокруг нее можно описать окружность, как вокруг четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180° (свойство). 

пусть центр описанной окружности - о.  

проведем через середины оснований высоту трапеции нк. 

середина вс- н, середина аd - к, и точка пересечения диагоналей - м.  

отрезок нк перпендикулярен основаниям, делит их пополам и проходит через центр окружности (свойство радиуса и хорды). 

сумма внутренних  односторонних углов при пересечении параллельных оснований трапеции секущей ав равна 180°. 

углы трапеции при основании аd равны 180°-105°=75°

соединим вершины а и в трапеции с центром о окружности. 

треугольник аов - равнобедренный со сторонами, равными r.

его углы при ав равны ∠ сва- ∠сво=105°-60°=45°. 

следовательно,  ∠ оак= ∠вак-∠ вао=75°- 45°=30°

в треугольнике вос с равными радиусу боковыми сторонами центральный угол вос опирается на ту же дугу, что вписанный угол вdс, поэтому вдвое больше его (свойство). 

∠вос=30°•2=60°, отсюда и углы при вс=60°. 

∆ вос - равносторонний, во=ос=вс=r=а.

высота этого треугольника он=а•sin 60°=(а√3)/2

    в ∆ оак противолежащий углу 30° катет ок=ао: 2=а/2. 

высота трапеции нк=но+ок=(а√3)/2+a/2=a•(√3+1): 2

площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований, т.е. на  среднюю линию. 

  высота равнобедренной трапеции, диагонали которой  пересекаются под прямым углом, равна её средней линии. 

поэтому s=[a•(√3+1): 2]• [a•(√3+1): 2]=а²•(2+√3): 2 (ед. площади)

***********************

способ 2

поскольку углы при вс равны, трапеция авсd- равнобедренная, и углы при аd равны 180°-105°=75°

диагонали равнобедренной трапеции равны и при пересечении образуют с основаниями равнобедренные треугольники.  по условию диагонали  взаимно перпендикулярны,  ⇒  ∆ вмс и ∆ amd - равнобедренные прямоугольные. углы  в этих треугольниках при вс и ad равны 45°

площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию. 

высота h равнобедренной трапеции, чьи диагонали взаимно перпендикулярны, равна ее средней линии и равна сумме высот треугольников  bmc и amd.

h=нм+мк. s=h² 

нм=0,5•bс=а/2 ( по свойству медианы и высоты равнобедренного  прямоугольного треугольника)

мc=вс•sin 45°= (a√2): 2

md=mc•tg60°=(a√2•√3): 2

мк=md•sin45º=[(a√2•√3): 2]•√2/2=a√3/2 

h=a/2+a√3/2=a•(1+√3)/2

s=[a•(1+√3)/2]²=а²•(2+√3): 2  (ед. площади)

это радиус легко найти он равен высоте равен диаметр вписанного круга. Из точки пересечения диагоналей. диагонали делет на четыре равных прямоугольных треугольника раз один угол 60°то другой 120 ° диагонали ромба является биссектрисами его внутренных углов. Поэтому диагонали делят ромб на треугольники с углами 90° 60° 30° против угла в 30° лежит катет равным половине стороны ромба которая в этом треугольника является гипотенузой .

Поэтому катет равен 5 см . Высоту треугольника проведенную к стороне ромба ищем из треугольника с гипотенузы 5 см и противолежащим углом в 60°против гипотенузы лежит прямой угол равна 5 sin 60°

5× 3/2 площадь круга равна 25×3/4=75 п/4=18/75 /см/

По моему всё

первый признак равенства треугольников.  если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

доказательство рисунок 4.2.1.  

пусть  δ  abc  и    таковы, что        (рис.  4.2.1). в соответствии с  аксиомой  4.1  существует    равный данному    с вершиной    в точке    с вершиной    лежащей на луче    и вершиной    в той же полуплоскости относительно прямой    где лежит вершина    (рис.  4.2.2).

так как    по условию, то на основании  аксиомы  1.5  точки    и    (рис.  4.2.3).

так как    то луч    совпадает с лучом    (рис.  4.2.4). так как    то на основании аксиомы  2.5 вершина    совпадает с вершиной  (рис.  4.2.5). тогда    совпадает с    и, значит, равен  δ  abc. теорема доказана.