Найдите место точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин равностороннего треугольника равна квадрату периметра этого треугольника.

это чисто техническая - при условии,что вы знаете формулу лейбница. а если не знаете - то и не решите : итак, если о - центроид (точка пересечения медиан) любого треугольника авс, а р - произвольная точка плоскости, то

3*ро^2 = (pa^2 + pb^2 + pc^2) - (oa^2 + ob^2 + oc^2); это и есть формула лейбница. рекомендую уметь её выводить.

для правильного треугольника оа = ов = ос = a/корень(3); а - сторона.

(oa^2 + ob^2 + oc^2) = a^2;

по условию,  (pa^2 + pb^2 + pc^2) = (3*a)^2 = 9*a^2;

получаем 3*po^2 = 9*a^2 - a^2 = 8*a^2;

po^2 = a^2*8/3;

это - окружность с центром в точке о и радиусом a*корень(8/3);

 

если надо показать вывод формулы лейбница - публикуйте : это вообще-то не простая , уж точно не на 5 очков : шучу, если надо -

 

1. правильный шестиугольник, состоит из шести равносторонних треугольников.

найдем сторону шестиугольника ab=r=48/6=8м.

рассмотрим δсdo в нем cd=do=0,5a (где а - сторона квадрата) ⇒ a=2cd

по теореме пифагора найдем   сd

r²=cd²+do²=2cd² ⇒ r=cd√2⇒ м

2.центр
вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис его углов.

центр описанной окружности - точка пересечения срединных перпендикуляров.  

в правильном треугольнике биссектрисы, медианы и срединные перпендикуляры . центры описанной и вписанной окружности также и
лежат в точке пересечения медиан. 

r: r=2: 1, считая от вершины (свойство медиан). 

радиус r вписанной в правильный треугольник окружности ( значит, и круга) равен 1/3 его высоты.

радиус rописанной вокруг правильного треугольника окружности равен 2/3 его высоты. 
⇒r=2r

πr²=16π⇒r=4

r=2•4=8

πr²=π•8²=64π см²

3.длина окрудности равна l = 2πr   =>   r =l/2π= 36π/2π = 18

а) длина дуги на которую опирается  вписанный угол 35⁰ равна 

l = а r ,   где   а -   центральный, опирающегося
на эту же дугу (в радианах), 

т.е   а = 2*35⁰   = 70⁰

10=  π/180   радиан   =>   а = 70*π/180 = 7π/18 

  l = а r =   7π/18 *18 =7π 

б) площадь сектора,ограниченного этой дугой равна s = 0,5а r²

s = 0,5 *
7π/18 *18² = 0,5 * 7π *18   = 63π 

ответ:     а)7π;   б)63π

                          1         /     2  

                            3
      /     4  

                                  /

                       
          /

                                /

                          5  
  /     6

                        7       /     8

/   - угол

/1= 107

/2= 180-107=73 т.к. смежный =180

/2=/3=73 накрест лежащие при прямых и
секущей

/3=/6=73 накрест лежащие при прямых и секущей

/6=/7=73 накрест лежащие при прямых и секущей

/1=/4=107 накрест лежащие при прямых и секущей

/4=/5=107 накрест лежащие при прямых и секущей

/5=/8=107 накрест лежащие при прямых и секущей