Впрямоугольном треугольнике авс гипотенуза 20 см, а один из катетов 16 см.найдите второй катет треугольника.

находим по теореме пифагора.

х2=400-256

х2=144

х=12

ответ: катет 12см

 

Можно и не привязываться к системе координат.. но суть остается прежней) пусть вершина - а, концы проекций х на ребра: m,k,n. пусть ам = 12, ак = 6, an = 4. надо найти длину ab = x. чтобы найти x, надо найти треугольник с прямым углом (так как больше углов не дано, а использовать т. пифагора легко), в котором известны две стороны. логично, что можно использовать одну из проекций как высоту, которую опустим на плоскость двух других проекций. пусть этой высотой будет отрезок, параллельный ak - bc, c принадлежит (amn). bc = 6см. тогда отрезок cm = na так как am || cn так как они оба перпендикулярны an (am - по условию, а cn - по теореме о трех перпендикулярах) тогда образуется прямоугольный треугольник cma, у которого известны два катета - am = 12, cm = 4 тогда ac^2 = 12^2 + 4^2 зная ac, можно найти ab, то есть x:   ab^2 = ac^2 + bc^2 = 12^2 + 4^2 + 6^2 = 196 => ab = 14см x=14см.

Пусть тр-к abc имеет медианы aa', bb', cc', построим около него тр-к klm такой, что kab подобен cba, lcb подобен abc, mac подобен bca. такое постороение возможно, потому что тогда угол cbl + угол abk + b = 180 так как cbl = c, abk = a; a + b + c = 180. аналогично с остальными сторонами. так как авс подобен трем другим тр-кам, то получилось 3 параллелограмма: ablc, abcm, akbc как известно, в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. тогда bc^2 + al^2 = 2ab^2+2ac^2 => al^2=2ab^2+2ac^2-bc^2 аналогично с остальными медианами - медиана равна половине корня из суммы удвоенных квадратов сторон, образующих угол, из которого опускается медиана, без квадрата стороны, на которую она опущена