Диагонали смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы в 30 и 45 градусов. найти косинус угла между этими диагоналями

использовано: свойство катета против угла в 30 град., теорема пифагора, теорема косинусов

определим через высоту h стороны основания параллелепипеда.

а = h/tg30,   b = h/tg45, диагональ основания с=√а²+b²=h√(1/tg30)²+(1/tg45)²

tg30=√3/3,   tg45=1,   a=h√3, b=h,  c = h√3+1 =  2h

теорема косинусов   с²=а²+b²-2ab*cosα

cos  α = (a²+b²-c²)/2ab = h²(3+1-4)/2*h√3*h = 0

пусть сторона  , тогда  , так как она в 2 раза больше стороны bc по условию . теперь рассмотрим четырехугольник cpkb, который вписан в окружность. как известно, у такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть    и  . предположим, что угол  , тогда угол  , теперь, учитывая, что углы    и    смежные, то угол 

lакр=180 град.-lркв

lакр=180 град.-180 град.+а=а

то есть он равен углу  . аналогично и для угла  . из равенства этих двух пар углов следует, что треугольники acb и apk подобны друг другу по двум углам.

для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

ас         св

    =    

ак           кр

откуда:

кр=ак*св

       

        ас

и подставляя числовые значения, имеем:

кр=14*х=14=7

           

          2х     2

ответ: 7

Сначала докажем, что если окружность описана около прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на гипотенузе. пусть, дан  треугольник авс с прямым углом спусть, точка о-центр описанной окружности.рассмотрим следующие треугольники: вос-равнобедренный,  ∠овс= ∠осв,аос-равнобедренный,  ∠оас= ∠осано сумма углов всо и асо=90°, значит, сумма углов сао + сво=всо +асо=90 °сумма углов выпуклого четырехугольника =360°,значит, аов=360-90-90=180°, то есть развернутый угол кроме того, ов=оа, поскольку о-центр окружности ас = 12 см, вс = 5 см; ав=√(св²+ас²)=√(144+25)=13 см оа=ов=13: 2=7,5 см. . ас = 16 см, ∠в = 30°.ав=16: sin30°=16: 0,5=32 оа=ов=32: 2=16 см