Впрямоугольнике авсд биссектриса угла а пересекает вс в тоске е. найдите площадь прямоугольника, если : вс=а см се=в см

площадь прямоугольника равна:

 

s=а*(а-ь)

 

решение:

 

чертим прямоугольник. чертим биссектрису (она делит угол на два равных угла.) отсюда следует что угол ead = bae. т.к. bc параллельна ad то из этого следует что углы ead и bea равны (по какой то там теореме сейчас название не помню), но т.к. ead=bae а ead = bea то наш треугольник abe - равнобедренный. отсюда следует, что ab=be. be=a-b -> ab=a-b 

находим площадь прямоугольника: ab*bc=a*(a-b)

площадь трапеции: s=0,5*(a+b)*h, где a - меньшее основание, b - большее основание, h - высота

пусть высота трапеции = x см, то меньшее основание = x см, большее основание = 2x см.

составим уравнение:

5=0,5*(x+2x)*x

5=0,5x^2+x^2

получилось квадратное уравнение

ищем дискримент:

d=0^2-4*(-1.5)*5=30

ищем возможные корни квадратного уравнения

x1=(sqrt(30)-0)/(2*(-1,5))=-1.83

x2=(-sqrt(30)-0)/(2*(-1,5))=1.83

в нашем случае подходит только 1.83, т.к. длина отрезка не может быть отрицательным числом.

ответ: h=1.83см

заметим, что угол ocd = bco = 30 гр => угол bcd = 60 гр => угол cda = 120 гр, а угол cdo=oda=60 гр

 

рассмотрим треугольник cod в нем углы ocd и odc равны 30 и 60 гр соответственно => угол cod = 180 - 30 - 60 = 90 гр => диагонали перпендикулярны друг другу   (так как при пересекающихся прямых противоположные углы равны, а смежные сумму в 180 гр)

 

рассмотрим треугольники bco и boa

применим теорему пифагора: bo^2+oc^2=bc^2; bo^2+oa^2=ba^2

 

поскольку в пар-ме диагонали точкой пересечения (в данном случае - o) делятся пополам, то oa=oc

 

вернемся к двум верхни уравнениям, видно, что левые части у них равны => ba^2=bc^2 => ba=bc => наш четырехугольник является ромбом

 

 

поскольку периметр abcd=40, то каждая из сторон равна 10

 

ищем диагональ bd:

рассмотрим треугольник bco:

угол bco равен 30 гр => sin bco=sin 30=1/2=bo/bc => bo=5

bd=bo+od (bo=od) => bd=10