Даны точки a(0; 1), b(2; 5), c(4; 1) и d(2; -3 докажите, что a)авсd-параллелограмм; б)abcd-ромб. решите )) заранее

а) 

1) ав (2-0; 5-1)  ⇒ ав (2; 4)

    cd (2-4; -3-1)  ⇒ cd ( -2; -4)  ⇒ вектора коллинеарны  ⇒ ав || cd

 

  2) bc (4-2; 1-5)  ⇒ bc (2; -4)

      ad (2-0; -3-1)  ⇒ ad (2; -4)  ⇒    вектора коллинеарны ⇒ bc || ad  ⇒ abcd - параллелограмм

б)

ab =  √(2² + 4²) =  √20

cd =  √)² + (-4)²) =  √20

bc =  √(2² + (-4)²) =  √20

ad =  √(2² + (-4)²) = √20  ⇒ abcd - ромб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объяснение:

(х – а)² + (у – b)² = R² – уравнение окружности, записанное в общем виде, где (а; b) – координаты центра окружности; R – радиус окружности. Из условия задачи известно, что уравнение окружности проходит через точку 8 на оси Ox, то есть через точку с координатами (8; 0), и через точку 4 на оси Oy, то есть через точку с координатами (0; 4). При этом центр находится на оси Oy, значит, точка (0; b) является центром окружности. Подставляя поочередно координаты этих точек в уравнение, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

(8 – 0)² + (0 – b)² = R² и (0 – 0)² + (4 – b)² = R²;

(8 – 0)² + (0 – b)² = (0 – 0)² + (4 – b)²;

8² + b² = (4 – b)²;

b² – 8 ∙ b + 4² – 8² – b² = 0;

8 ∙ b = – 48;

b = – 6, тогда, R = 10, и уравнение окружности примет вид:

х² + (у + 6)² = 10².

ответ: х² + (у + 6)² = 10² – уравнение данной окружности.

1) Sбок= 13*9 + 5*15= 117 + 75= 192 см^2

3) Длина отрезка ВС равна 4 см.

4) Апофема равна sqrt(3), высота усеченной пирамиды равна 2*sqrt(2/3)

Объяснение:

1) Запишем формулу площади параллелограмма для высоты ВН и стороны AD:

S=ВН*AD

36ВН=360

ВН=10

Запишем формулу площади параллелограмма для высоты ВR и стороны CD:

S=ВR*CD

20ВR=360

ВR=18

Прямоугольные треугольники АРО и OFC равны по гипотенузе и острому углу: АО=ОС (диагонали точкой пересечения делятся пополам) , углы ОАР и ОСF равны (накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущей АС) .

Это означает, что OP=OF=(1/2)PF=(1/2)BH=5

Также и для треугольников ОТВ и ОМD: ОТ=ОМ=(1/2)TM=(1/2)BR=9

Соединим точки М и К (рис а) . Прямая МК перпендикулярна СD по теореме о трех перпендикулярах.

Из прямоугольного треугольника КОМ определим КМ по теореме Пифагора: КМ=15

Также соединим точки Р и К (рис а) . Прямая РК перпендикулярна АD по теореме о трех перпендикулярах.

Из прямоугольного треугольника КОР определим КР по теореме Пифагора: КР=13

Противоположные боковые грани пирамиды равны (по трем сторонам: у параллелограмма противоположные стороны равны, все боковые ребра данной пирамиды равны) , а значит равны и их площади. Поэтому формулу площади боковой поверхности запишем так:

Sбок=2Sakd+2Sckd

Sбок=2*(1/2)*AD*KP+2*(1/2)*DC*KM

Sбок=36*13+20*15=768.

1) Проведем AK перпендикулярно BC, тогда ВС перпендикулярно DK (по теореме о трех перпендикулярах) , т. е. DK - высота треугольника DBC.

2) Из треугольника АВК получаем: AK = корень (AB^2 + BK^2) = корень (169-25)=корень (144)=12.

3) Из треугольника DAK имеем: DK = корень (DA^2 + AK^2) = корень (81+144) = корень (225) = 15.

4) треугольник ADB = треугольнику ADC (по двум катетам) .

Sбoк = 2Sadb + Sbdc;

Sбок= 13*9 + 5*15= 117 + 75= 192 см^2.

3) Так как точка М середина ребра ВС, то отрезок SМ есть медиана боковой грани SBC. Так как боковая грань правильной пирамиды есть равносторонний треугольник, то медиана SМ так же его высота.

Боковые грани правильной пирамиды равновелики, тогда Sбок = 3 * Ssвс.

Ssвс = 174 / 3 = 58 см2.

Площадь боковой грани SBC равна: Ssвс = BC * SМ / 2 = 58.

ВС = Ssвс * 2 / SM = 58 * 2 / 29 = 4 см

4) Из рисунка,

ВС равно половине большего основания:

BC = 4 дм / 2 = 2 дм

AD равно половине меньшего основания:

AD = 2 дм / 2 = 1 дм

Если провести параллельный отрезок DB1 из точки D параллельно AB до ребра BC большего основания, то получится треугольник, причём:

B1C = BC - AD = 2 - 1 = 1 дм

DB1 = AB

Мы получили прямоугольный треугольник DB1C,

теорема Пифагора для него:

DB1^2 + B1C^2 = DC^2, подставляем

DB1^2 + 1^2 = 2^2

DB1^2 = 4 - 1 = 3

DB1 = sqrt(3) - корень из трех

F = AB = DB1 = sqrt(3)

Осталось найти высоту H:

Т к большее основание - правильный треугольник, то OB - это перпендикуляр к BC

Делаем тоже самое - проводим параллельный отрезок отрезку H, но из точки A и второй точкой A1 на большем основании

Так как ребра равнобедренных оснований большего в два раза больше меньшего, то исходя из симметрии оснований BO = 2 AO1

Тогда BA1 = AO1 = A1O = BO/2

Теперь рассмотрим треугольник BOC - прямоугольный

угол BCO = 60 / 2 = 30 град - половине угла равнобедренного треугольного основания.

Значит угол BOC = 180 - 90 - 30 = 60 град

Тогда из соотношения синуса:

BC / sin(60) = BO / sin(30)

BC = 2

BO = 2 * sin(30) / sin(60) = 2 * 0.5 / (sqrt(3) / 2) = 2 / sqrt(3)

значит BA1 = BO/2 = 2 / sqrt(3) / 2 = 1/sqrt(3)

но по правилу Пифагора:

F^2 = BA1^2 + H^2

подставляем

sqrt(3)^2 = 1/sqrt(3)^2 + H^2

H^2 = 3 - 1/3 =(9 - 1)/3 = 8/3

H = sqrt(8)/sqrt(3) = 2*sqrt(2/3)

^ - это степень

* - это знак умножения

\ - это черта дроби