Вершины равностороннего треугольника лежат на сфере радиусом 13 см. чему равна сторона этого треугольника, если расстояние от центра сферы до его плоскости равна 5 см?

разрезав сферу вертик. плоскостью через ось и вершину треугольника, получим расстояние этой вершины от оси - корень(13^2 - 5^2) = 12 см.

сторона треуг. будет равна 2*(12*cos 60/2) = 12v3.

кавсд пирамида, к-вершина, авсд-квадрат, ав=вс=сд=ас=12, о-центр основания-пересечение диагоналей, ко-высота пирамиды=8, проводим мн через о параллельно сд, мн=сд=12, проводим мл параллельно кд (л на ак), проводим не пераллельно кс (е на кв), мл -средняя линия треугольника акд (т.к ам=мд а мл параллельна кд, то ал=кл), не-средняя линия треугольника ксе, проводим ле-средняя линия треугольника акв=1/2ав, ле=ав/2=6,

площадь  сечения равнобедренная трапеция млен, из точки о проводим перпендикуляр от  на ав, от=1/2ад=12/2=6, проводим апофему кт, треугольник кот прямоугольный, кт=корень(ко в квадрате+от в квадрате)=корень(64+36)=10, ф-точка пересечения ле и кт, средняя линия ле делит кт на 2 равные части, фт=кф=1/2кт=10/2=5, в треугольнике кот оф-медиана, в прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе=1/2гипотенузы, оф=1/2кт=10/2=5=высота трапециимлен  (если провести высоты в трапеции из точек л и е на мн, то отрезок оф соединяющий середины оснований параллелен высотам),

можно по другому высоту трапеции найти- треугольник акт прямоугольный, кт=10, ат=6, ка=кд=корень(кт в квадрате+ат в квадрате)=корень(100+36)=2*корень34, мл=1/2кд=2*корень34/2=корень34, в трапеции проводим высоты лр и ех на мн, рлех прямоугольник ле=рх=6, треугольник млр=треугольник нех как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, мр=нх=(мн-рх)/2=(12-6)/2=3, треугольник млр прямоугольный, лр=ех=оф=корень(мл в квадрате-мр в квадрате)=корень(34-9)=5 -высота трапеции

площадь сечения=1/2(ле+мн)*оф=1/2*(6+12)*5=45

Вэтой нужно использовать теорему об отношении площадей подобных треугольников:   если нужно, докажите, что эти два треугольника - подобные (их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого) .  s/s1 = k^2, где k - коэффициент подобия.  по условию, площадь одного треугольника в два раза больше площади второго:   s = 2s1  s/s1 = 2, s/s1 = k^2  k = √2  отношение оснований треугольнико равно коэффициенту подобия:   осн/осн = k  найдём осн = осн*k = 18*√2  ответ: основание треугольника равно 18*√2 или ≈ 25,46 см.