Даны точки а(0; 1), в(2; 5), с(4; 1) и d(2; -3) докажите что abcd- параллелограмм abcd- ромб

1) для того, чтобы авcd был параллелограммом, достаточно, чтобы 2 его стороны были равны и параллельны.

 

ab = b - a = (2-0; 5-1) = (2; 4)

dc = c - d = (4-2; )) = (2; 4)

 

вектора равны, значит, авсd - параллелограмм.

 

2) для того, чтобы параллелограмм был ромбом, достаточно, чтобы диагонали были перпендикулярны.

 

ac = c - a = (4-0, 1-1) = (3, 0)

bd = d - b = (2-2, -3-5) = (0, -8)

ac*bd = 3*0 + 0*(-8) = 0

 

вектора, построенные на диагоналях перпендикулярны, что и требовалось.

Площадь трапеции

площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

s = ((ad + bc) / 2) · bh,

где  высота трапеции  — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

доказательство.

рассмотрим трапецию  abcd  с основаниями  ad  и  bc, высотой  bh  и площадью  s.

докажем, что  s = ((ad + bc) / 2) · bh.диагональ  bd  разделяет трапецию на два треугольника  abd  и  bcd, поэтому  s = sabd  + sbcd. примем отрезки  ad  и  bh  за основание и высоту треугольника  abd, а отрезки  bc  и  dh1  за основание и высоту треугольника  bcd. тогда

sabc  = ad · bh / 2, sbcd  = bc · dh1.

так как  dh1  = bh, то  sbcd  = bc · bh / 2.таким образом,

s = ad · bh / 2 + bc · bh = ((ad + bc) / 2) · bh.

теорема доказана.

Продолжим ао и обозначим смежный угол как bom. биссектрису этого угла назовем od и будем искать угол cod. 1.  отношение 3 : 5 говорит о том, что угол aoc меньше угла boc на 2 части, на которые приходится 42град. значит, на одну часть приходится 21град. тогда 3 части (угол aoc) = 21 * 3 = 63град.  5 частей (угол boc) = 21 * 5 = 105град. 2.  < boa = < boc + < coa = 105 + 63 = 168град.  < boa = 180град - < boa = 12град. 3.  < bod = 1/2 угла bom = 6град.  4.  искомый угол doc = 6 + 105 = 111град.