Объем данного правильного тетраэдра равен 64 см3. найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 2 раза меньше ребра данного тетраэдра. ответ дайте в см3.

правильные тетраэдры подобны, коэфициент подобия в данном случае равен 2. объёмы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе. объём маленького тетраэдра равен 64: 2 в кубе=64: 8=8. ответ 8 см. кубических

Высота bh по совместительству биссектриса⇒ o -точка пересечения биссектрис. как известно (это можно вывести, например, из теоремы ван-обеля), биссектриса в точке пересечения делится другими биссектрисами в отношении "сумма прилежащих сторон делить на противолежащую". если боковые стороны обозначить через a, основание через b, условие ob: oh приводит к 2a: b=3: 1, то есть a: b=3: 2. поскольку наш треугольник интересует нас с точностью до подобия, можно считать, что b=2; a=3. найдем косинусы углов нашего треугольника:   cos a=cos c=ah/ab=1/3; cos c=cos (180-2c)=  - cos 2c=-(2cos^2 c-1)= -(2/9-1)=7/9. из той же теоремы ван-обеля следует, что высота делится точкой пересечения высот в отношении "косинус угла, из которого опущена высота, делить на произведение косинусов двух других углов". в нашем случае получается (7/9)/((1/3)(1/3))=7 ответ: 7: 1 прошу прощения, если не все факты вам известны. если они вас заинтересуют, оформляйте их в виде , и я с удовольствием их докажу.

Из центра квадрата к его вершинам отходят четыре равных отрезка, представляющих собой половины диагоналей, углы между которыми равны 90°. вершины соединены отрезками - сторонами квадрата - образующими вместе с половинами диагоналей четыре равных равнобедренных треугольника. таким образом, при повороте квадрата вокруг центра в плоскости квадрата произойдёт четыре самосовмещения с интервалом в 90°. в данной речь идёт о поворотной симметрии. фигура обладает поворотной симметрией, если она переходит в себя с некоторым поворотом. поворотную симметрию можно охарактеризовать с величины, называемой порядком поворотной оси (порядком симметрии), которая покажет нам, сколько раз произойдёт самосовмещение при повороте фигуры на 360°. в квадрате поворотная ось проходит через его центр и, как было сказано выше, при повороте происходит четыре самосовмещения, значит центр квадрата является центром симметрии 4-го порядка.