Угол между плоскостями равностороннего треугольника abk и квадрата abcd 30 градусов. найдите рассояние kd, если ab=6 м

kd можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника kod, где ko - высота, опущенная из точки k на плоскость квадрата. для начала поделим отрезок ab пополам точкой e. так как треугольник abk - равностороний, очевидно, что ke - высота треугольника, и равна ab * cos(60). треугольник eko также прямоугольный, и угол e равен 30 градусов. значит, ko = ke * sin(60) = ab * sin(60) * cos(60) = ab sqrt(3)/4. od также является гипотенузой прямоугольного треугольника ofd, где f - продолжение отрезка eo до пересечения с отрезком dc. очевидно, что fo = ab - eo. eo = ke * cos(60) = ab * cos(60) * cos(60) = 3*ab/4 - следовательно, fo = ab/4. f, очевидно, делит cd пополам, значит, fd = ab/2. таким образом, получаем, что od = ab*sqrt(5)/4 зная od и ko, получаем kd: kd = ab*sqrt(3+5)/4 = ab/sqrt(2)

Рисунок смотри в файле а мы пойдем другим путем- векторным. понятно, что высота h   является и медианой,   значит, медианы h и   искомая  m делятся точкой пересечения в отношении 2/3 →       →           → a     +2m/3 = 2h/3   →           →       → 2m/3 = 2h/3 -   aвозведем в квадрат , получим                           →→                             →  → 4m²/9=4h²/9-4a   *h/3   +a²         но   a  *  h=ahcosα     где   cosα=h/a                                                               →   →                                                               a * h = h² 4m²/9=4h²/9-4h²/3 +a² 4m²/9=a² -8h²/9 m=1/4 *√(9a²-8h²)

Находим длины сторон по разности координат точек.

"A(− 1, 0, 2) , B(1, − 2, 5) , C (3, 0, − 4)"                                                      

AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = 4 4 9 17 4,123105626

BC = √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²) = 4 4 81 89 9,433981132

AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²)  = 16 0 36 52 7,211102551 .

Далее применяем формулу Герона.

Периметр АВС  Р =  20,76818931 p - a            p - b      p - c

Полупериметр р=  10,38409465 0,950113522 3,172992103 6,260989029

 S =   √196 = 14.  

Можно применить метод определения площади по векторам.

Находим векторы по координатам точек:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {1 - (-1); -2 - 0; 5 - 2} = {2; -2; 3}

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {3 - (-1); 0 - 0; -4 - 2} = {4; 0; -6}

S =  (1/2)* |AB × AC|

Находим векторное произведение векторов:

c = AB × AC

AB × AC =  

i        j      k

ABx      ABy      ABz

ACx       ACy       ACz

 =  

i       j               k

2      -2      3

4        0      -6

 =   i ((-2)·(-6) - 3·0) - j (2·(-6) - 3·4) + k (2·0 - (-2)·4) =  

 = i (12 - 0) - j (-12 - 12) + k (0 + 8) = {12; 24; 8}

Определяем модуль вектора с:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(12² + 24² + 8²) = √(144 + 576 + 64) = √784 = 28

Найдем площадь треугольника:

S =  (1/2) *28   =  14 .