Вчетырехугольнике abcd ab+cd=18, а диаметр вписанной в него окружности равен 8.найдите площадь четырехугольника. объясните все подробно

 

описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. в этом случае окружность вписана в четырехугольник.

 

  свойства четырехугольника описанного около окружности:

 

  1.   стороны лежат на касательных

  2.  ab+cd=bc+ad

 

  3.   s_{abcd}  =   pr 

  где p - полупериметр 

          r - радиус вписанной окружности

                                    решение:

  r= d/2=8/2=4

  ab+cd=bc+ad=18   периметр p=  ab+cd+bc+ad=18+18=36

 

  полупериметр p=36/2=18

  s_{abcd} =   pr=18x4=72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) если точка а лежит между точками в и с, тогда ав + ас = вс. проверим:

ав + ас = 4,3 + 7,5 = 11,8 (см)

вс = 3,2 (см)

11,8 см ≠ 3,8 см   ⇒ точка а не может лежать между точками в и с.

2) если точка с лежит между точками а и в, тогда ас + вс = ав. проверим:

ас + вс = 7,5 + 3,2 = 10,7 (см)

ав = 4,3 (см)

10,7 см ≠ 4,3 см   ⇒ точка с не может лежать между точками а и в.

3) если точка в лежит между точками а и с, тогда ав + вс = ас. проверим:

ав + вс = 4,3 + 3,2 = 7,5 (см)

ас = 7,5 (см)

7,5 см = 7,5 см   ⇒ точка в лежит между точками а и с.

Так как боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны, то проще её представить с этими рёбрами по осям координат, а вершину в начале координат.

Пусть SA по оси Oz, SB по оси Oy, SC по оси Ox.

Координаты вершин: A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(3; 0; 0), S(0; 0; 0).

Находим векторы: SA(0; 0; 2), SB(0; 4; 0), SC(3; 0; 0).

Их смешанное произведение равно:

0      0     2|     0      0

0     4      0|     0      4

3     0      0|     3      0 = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 24 = -24.

Объём пирамиды равен V = (1/6)|-24| = 4 куб.ед.

Находим векторы по точкам A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(3; 0; 0)

AB = (0; 4; -2), модуль равен √(0² + 4² + (-2)²) = √20 = 2√5.

AC = (3; 0; -2), модуль равен √(3² + 0² + (-2)²) = √13.

Определим площадь треугольника АВС как половину модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

i         j        k|       i        j

0      4       -2|      0      4

3       0      -2|      3      0 = -8i - 6j + 0k - 0j - 0 i - 12k = -8i - 6j - 12k.

S = (1/2)√((-8)² + (-6)² + (-12)²) = (1/2)√(64+36+144) = (1/2)√244 = √61 кв. ед.

Можно получить ответ по формуле:

H = 3V/S = 3*4/√61 =  12/√61 = 12√61/61 ≈ 1,536.