1) в четырехугольника abcd стороны ab bc cd равны по длине. угол abc равен 60 градусов, угол bcd прямой. найдите угол adc2) точка е середина стороны cd прямоугольника abcd. на стороне bc взяли точку к такую, что угол аек равен 90 градусов. найдите длину отрезка ак если вк = 5, ск = 1

Это хорошая , и полезная.  сразу легко найти, что треугольник akd имеет углы  72°,  72° и 36 °, и точно такие же углы имеет треугольник kdc, то есть kd = cd = bk, ak = bc (ну конечно же, треугольник abk равнобедренный, так как ak - биссектриса, и угол bka = угол kad = угол bak).  в результате получилось, что надо найти отношение боковой стороны к основанию в равнобедренном треугольнике  с углами  72°,  72° и 36° (то есть в треугольнике akd).  если теперь провести биссектрису угла adk в этом треугольнике, и посмотреть углы треугольников, на которые она его разрежет, то получится, что оба эти треугольника тоже равнобедренные. то есть в таком треугольнике биссектриса угла при основании (72°) равна основанию и одновременно равна отрезку, который она отсекает на боковой стороне, считая от вершины угла  36°.  пусть ak = ad = b; kd = dm = am = a; (dm - биссектриса угла adk, м лежит на ak). тогда по свойству биссектрисы (b - a)/a = a/b;   или (b/a)^2 - (b/a) - 1 = 0; b/a как раз и надо найти : ) если решить это квадратное уравнение и отбросить отрицательный корень, получится b/a = (1  +  √5)/2;

Решение, а) По условию Z2 + Z4 = 220°. Эти углы вертикальные, поэтому Z2 = Z4 = 110°.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому Zl + Z2 = 180°, откуда Z1 = 180° -- 110° = 70°.

Углы 3 и 1 вертикальные, поэтому Z3 = Z1 = 70°.

б) Углы 1 и 3, а также 2 и 4 вертикальные, поэтому Z3 = Zl, Z4 = = Z2. Подставив эти выражения в данное равенство, получим:

3(2Z1) = 2Z2,

или

3Z1 =Z2.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому Zl + Z2 = 180°. Из этих двух равенств находим Z1 и Z2: Z1 = 45°, Z2 = 135°.

Z3 = Z1, поэтому Z3 = 45°; Z4 = Z2, поэтому Z4 = 135°

в) По условию Z2 — Z1 = 30°. Эти углы смежные, следовательно, Zl + Z2 = 180°. Из этих двух равенств имеем: Z1 = 75°, Z2 = 105°.

Z3 = Z1, поэтому Z3 = 75°; Z4 = Z2, поэтому Z4 = 105°.

ответ, a) Zl = Z3 = 70°, Z2 = Z4 = 110°; б) Zl =Z3 = 45°, Z2 = = Z4 = 135°; в) Zl = Z3 = 75°, Z2 = Z4 = 105°.