Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на два відрізки завдовжки 6 см і 10 см. знайдіть площу трикутника.​

Пусть дан ромб abcd, проведем из вершины c высоту ch ромба. площадь ромба = a*(ch), где а - это длина стороны ромба. понятно, что относительно прямой ad, cd - это наклонная, а ch- перпендикуляр. и cd> =ch. понятно, что чем больше высота (ch) тем больше площадь ромба, сторона же ромба по условию является константой. ch< =cd. тогда предельный случай когда ch=cd=а - это случай когда точки h и d , то есть отрезки ch и сd . то есть наклонная сама является перпендикуляром. тогда сh=a, а ромб в этом случае является квадратом, т.к. его стороны перпендикулярны (в этом случае). и площадь это квадрата будет a*a = a^2.

Вычислим площадь  δавс по формуле герона. р=0,5(13+14+15)=21 см. sδ=√р(р-а)(р-b)(р-с)=√21·8·7·6=84 см². вм=s/0,5ас=84/7,5=11,2 см. r=аbс/4s=13·14·15/4·84=8,125 см. r=2sδ/(a+b+c)=2·84/42=4 см. по теореме косинусов вс²=ас²+ав²-2·ав·ас·cosa, 169=196+225-420·cosa, cosa=0,6. найдем sina   sin²a+cos²a=1; sin²a=1-0,36=0,64;   sina=0,8. по теореме синусов вс/sina=ac/sinb; 13/0,6=15/sinb;   sinb=9/13. δbcm:   cm=√13²-11.2²=6,6. tgc=11,2/6,6=1 23/33. δabk: ak²=bk²+ab²-2·bk·abcosb. sin²b+cos²b=1; cosb=√1-81/169=√88/169=√88/13≈0,72. ak²=42,25+196-2·6,5·14·0,72=107,21; ak≈√107.21≈10,35 cм. ∠асв≈59,5°. вычислим длину бмссектнисы l=(2·bc·ac/bc+ac)·cos(0.5∠acb)=(2·13·15/(13+15))·cos30°= =(390/28)·0,87=12,1 cм.