Знайдіть радіус кола описаного навколо прямокутного трикутніка якщо його гіпотенуза і катет відносяться як 5: 3 а другий катет дорівнюе 16 см.

так как окружность является описанной около треугольника , то его гипотенуза  является диаметром . пусть одна часть равна х, тогда гипотенуза  равна 5х, катет 3х, получим уравнение  (5 х) в квадрате =  16 в квадрате + (  3х)в квадрате - по теореме пифагора. 

  получаем 25 х в квадрате = 256 + 9х в квадрате.

                                          16 х в квадрате = 256

                                                х в квадрате = 16

                                                    х= 4  ; х= -4

  -4 не удовлетворяет условию .

найдём гипотенузу 5х= 5*4 = 20, гипотенуза это диаметр, значит радиус 20: 2 =10

ответ : 10 см

дано: ∠асв = 90°

1/2∠асм = 1/3∠всм

найти: ∠асм;   ∠всм

решение:

известно, что 1/2∠асм = 1/3∠всм; т.е.∠асм/2 =  ∠всм/3 , тогда  ∠всм = (3∠асм)/2 ;

по условию луч см делит прямой угол, т.е. 

∠асм +  ∠всм   = 90° =  ∠асв, или, как мы уже нашли:

∠асм + (3∠асм)/2 = (5∠асм)/2 = 90°

5∠асм = 90° * 2 = 180°;     ∠асм = 180°: 5 = 36°;

∠всм = (3∠асм)/2 = 3 * 36°:   2 = 54°

ответ:   ∠асм  =  36°;   ∠всм = 54°

проверка: 36° + 54° = 90°;   90° = 90°;   36°: 2=54°: 3;   18°=18°

а) для доказательства нужно найти сторону а1с1 и проверить треугольник на соответствие т.пифагора. 

призма прямая,  ⇒все её ребра перпендикулярны основаниям. 

• из ∆ аа1в по т.пифагора 

аа1=√(a1b²-ab²)=√56

bb1=cc1=√56

  • из ∆ с1св  по т.пифагора 

вс=√(bc1²-cc1*)=√(81-56)=√25=²

• стороны ∆ авс из троек .пифагора с отношением 5: 12: 13  ⇒ можно обойтись без вычислений. ас=12 ( проверьте по т.пифагора)

а1с1=ас=12

а1в²-с1в²=225-81=144  получаем а1с1=12,   к тому же отношение сторон вс1: а1с1: а1в=3: 4: 5 - отношение сторон прямоугольного (египетского) треугольника.  доказано.

–––––––––––––––––––––––––––––

б)формула объёма пирамиды 

v=s•h: 3

площадь основания ава1  равна половине площади большей боковой грани призмы авв1а1 (диагональ грани делит её пополам). 

s=aa1•ab: 2=√56•13=2√14•13: 2=√14•13

высотой пирамиды является перпендикуляр из вершины  с1    опущенный на плоскость основания. 

перпендикуляр  из вершины с1 на плоскость авв1а1, содержащую плоскость основания пирамиды,  лежит в плоскости верхнего основания призмы а1с1в1.

с1н=а1с1•sin∠a1. 

sin∠a1=c1b1: a1b1=5/13

c1h=12•5/13=60/13

на втором рисунке приложения призма для большей наглядности "уложена" на большую грань, содержащую основание пирамиды.