Какие из следующих утверждений верны? 1)если диагонали четырёхугольника делят его углы пополам, то этот четырёхугольник - ромб. 2)центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения его высот. 3)треугольник, стороны которого равны 7, 12, 13 является прямоугольным. 4)любые два прямоугольных треугольника подобны.

1)  если диагонали четырёхугольника делят его углы пополам, то этот четырёхугольник - ромб.

да.  каждая диагональ такого четырехугольника делит его на   треугольники, углы которых при основании равны, т.е. на    равнобедренные. все стороны четырехугольника равны. это - ромб. 

2)  центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения его высот. 

да. центр окружности, описанный около треугольника, лежит в точке пересечения его срединных перпендикуляров. высоты правильного треугольника - перпендикуляры к серединам его сторон, т.е. срединные. 

3)треугольник, стороны которого равны 7, 12, 13 является прямоугольным.

нет. эта тройка не отвечает т. пифагора с²=а²+b².  прямоугольным является треугольник со сторонами 5,12,13. 

4)любые два прямоугольных треугольника подобны.

нет. наличия прямого угла недостаточно для подобия прямоугольных треугольников. сравни равнобедренный прямоугольный треугольник и треугольник с острыми углами 30º и 60º

Есть такое свойство - квадрат высоты равен произведению проекций(ну или как-то так, но суть та). вообщем, 12*3=квадрат высоты треугольника авс. после несложных подсчётов получаем, что высота равна 6(думаю, понятно почему). дале, по т. пифагора рассматриваем 2 прямоугольных треугольника, которые образовались. когда провели высоту, к примеру, в точку к.(и при условии, что а - прямой угол) тогда, 2 треугольника прямоугольны - это акв и акс. по т. пифагора в первом треугольнике получаем, что ав равна 6 умноженная на корень из 5, а из второго треугольника получаем, что ас равна 3 умноженная на корень из 5. ну а св понятно - 3+12=15.

Просто. как всегда, обозначим трапецию стандартным способом авсд. в точке а угол равен 60 градусов. опустим из в высоту к основанию в точку, к примеру, к. так вот, угол авк равен 30 градусов(авк-прямоугольный треугольник). катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы => ак=0,5. так как трапеция равнобедренная, проделываем ту же самую операцию и со второй стороной. теперь выходит, что основание состоит из  0,5 + 0,5 + х. но так как мы знаем длину основания, то легко находим х . х=1,7. следовательно, вс=1,7