9. (2б.) знайдіть довжину діагоналі вд паралелограмаа авсд, якщо а(-1; -3; 0), в (1; 1; 3), c(3; 1; 4​

Высота равна 3 ед

Объяснение:

В основании правильной треугольной пирамиды SABC лежит правильный (равносторонний) треугольник ABC. Высота SO правильной треугольной пирамиды проектируется в центр вписанной в △ABC и описанной около △ABC окружности ( в равностороннем треугольнике они совпадают).

r=OD=4 ед- по условию.

Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике:

a - сторона △ABC.

а = BC = r • 2√3 = 4 • 2√3 = 8√3 ед

Площадь боковой грани (площадь треугольника) вычисляется по формуле:

S= ½ • BC • SD

где SD - высота боковой грани (апофема пирамиды). SD⟂BC.

S=20√3 - по условию

Следовательно:

½ • 8√3 • SD = 20√3

SD = 20 : 4 = 5 ед

Поскольку высота SO перпендикулярна к площади основания (△ABC), то она перпендикулярна к любой прямой, принадлежащей основанию. => SO⟂OD.

В прямоугольном треугольнике SOD(∠O=90°) по теореме Пифагора найдём катет SO:

SO² = SD²-OD² = 5²-4² = 25-16 = 9

SO = √9 = 3 ед

∠PPC=100°

Объяснение:

Точка Р лежит внутри равнобедренного △ABC (AB=BC). ∠ABC=80°, ∠PAC=40°, ∠ACP=30°. Требуется найти ∠BPC.

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то

∠BAC=∠BCA=(180°-∠ABC)÷2=(180°-80°)÷2= 50°

∠BCP =∠BCA-∠ACP=50°-30°= 20°,

∠BAP =∠BAC-∠PAC=50°-40°= 10°.

Построим на стороне ABC равносторонний треугольник ABD.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°: ∠DAB=∠ABD=∠ADB=60°.

Проведём диагональ CD в четырёхугольнике ABCD. Так как AB=BC по условию, а BD=AB по построению, то BD= BC. Следовательно △CBD - равнобедренный. ∠BDC=∠BCD=(180°-∠DBC)÷2=(180°-(∠ABD+∠ABC))÷2=(180°-(60°+80°))÷2=20°.

Так как ∠BCP также равен 20°, то точка P лежит на стороне CD.

△ADP.

∠DAP=∠DAB+∠BAP=60°+10°= 70°.

∠ADP=∠ADB-∠BDC=60°-20°= 40°.

Следовательно ∠DPA=180°-∠DAP-∠ADP=180°-70°-40°= 70°.

Таким образом ∠DAP=∠DPA, следовательно △ADP - равнобедренный.

DA=DP - как боковые стороны равнобедренного △ADP. Но:

DA=DB - как стороны равностороннего △ABD. Значит:

DP=DB. => △DBP - равнобедренный, ∠DBP=∠DPB=(180°-∠BDC)÷2=(180°-20°)÷2=80° - как углы при основании равнобедренного треугольника.

∠DPB и ∠BPC - смежные углы. Их сумма равна 180°:

∠BPC=180°-∠DPB=180°-80°= 100°.