С1)дано утверждение: если в прямоугольном треугольнике два угла по 45°, то он равнобедренный. напиши обратное утверждение! сделай рисунок к обратному утверждению и запиши, что дано и что надо доказать! 2)нарисуй угол fds. построй в нём биссектрису! на биссектрисе отметь точку в так, чтобы bc=3cm и bcꞱfd и bmꞱds. найди длину отрезка bm! ответ поясни! 3)в равностороннем треугольнике kfs к одной стороне провели серединный перпендикуляр rf. известно, что sr= 3 cm. найди длину стороны fk и величину угла ∢ kfr! 4)в равнобедренном треугольнике стороны относятся как 3 : 5 : 3 . найди длины сторон, если периметр треугольника 33 см!

Вот пришло в голову решение : ) так-то ерундовая : ) я продлеваю перпендикуляры hk и hm за точку h до пересечения с ba в точке a1 и bc в точке c1 (ну, точки лежат на из за того, что ∠abc острый, эти точки есть и лежат где положено : ) ) для треугольника a1bc1 h - точка пересечения высот (ну двух-то точно : ) - a1m и c1k), поэтому a1c1 перпендикулярно bh, и, следовательно, параллельно ac; то есть ∠bac = ∠ba1c; точки k и m лежат на окружности, построенной на a1c1, как на диаметре, поэтому ∠ba1c + ∠kmc = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. или, что же самое, ∠ba1c = ∠bmk; следовательно ∠bac = ∠bmk;   и треугольники abc и bmk имеют равные углы. то есть, подобны. следствие, которое важнее : ) четырехугольник akmc - вписанный. то есть через эти 4 точки можно провести окружность. дополнение. тривиальный способ решения тут такой. ∠khb = ∠a; ∠mhb = ∠c; bk =  bh*sin(a) = bc*sin(c)*sin(a); bm = bh*sin(c) = ba*sin(a)*sin(c); то есть у треугольников abc и mbk угол b общий, и стороны общего угла пропорциональны bm/ba = bk/bc = sin(a)*sin(b); значит треугольники подобны. коэффициент подобия sin(a)*sin(c), что тоже полезное следствие.

Выполним рисунок к . чертим трапецию авсd, у которой вс=10, аd=20. биссектриса вd делит угол авс пополам. проводим вк перпендикулярно к аd. вк   высота трапеции. вычисляем  ак = (20-10): 2=5. угол свк равен углу аdв (внутренние разносторонние при параллельных вс и аd и секущей вd). треугольник вd  равнобедрен-ный (угол авd равен углу аdв). значит ав=аd=20. рассмотрим треугольник авк. по теореме пифагора вк²=ав²-ак²=400-25=375. вк=5√7. вычислим площадь трапеции. s=0,5·(10+20)·5√7=75√7 (см²).